如何推導出替代彈性？
兩件商品 $ x $ 和 $ y $ , 替代彈性定義為
$$ \sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{\frac{d\left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x}}}{ \frac{d\left(\frac{U_x}{U_y}\right)}{\frac{U_x}{U_y}}} $$ 我對兩件事感到困惑：
- 為什麼我們只寫 $ d\log\left(\frac{y}{x}\right) $ ? 我們在區分什麼？
- 我如何使用它來顯示上述關係？
有人可以解釋嗎？
如何推導替代彈性
第一步是回憶微分的定義。如果你有一個功能 $ f: \Bbb R^n \to \Bbb R $ ， 說， $ f(x_1,\cdots,x_n) $ ， 然後：$$ {\rm d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1}{\rm d}x_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n},{\rm d}x_n. $$
例如， $$ d\log v = \frac{1}{v}dv $$
現在假設 $ v = \tfrac{y}{x} $ ，那麼我們有$$ d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)} $$
並且對於 $ v = \tfrac{U_x}{U_y} $
$$ d\log(U_x/U_y)=\frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)} $$
換句話說，如果您將問題簡化為 (1) 理解微分的定義和 (2) 使用變數 的簡單變化，問題就會變得非常簡單。
然後你得到
$$ \sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{ \frac{d(y/x)}{(y/x)} }{ \frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)} } $$
在旁邊：
請注意，重要的是要認識到 $ d(y/x) $ 是一個有意義的概念。您只需應用商規則，您就會發現
$$ d(y/x)= \frac{xdy-ydx}{x^2} $$
這是有道理的，因為
$$ d\log(y/x) = d\log(y) - d\log(x) = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x} $$
如果你計算
$$ d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}=\frac{ \frac{xdy-ydx}{x^2}}{y/x} = \frac{xdy-ydx}{xy} = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x} $$
同樣的邏輯適用於 $ d(U_x/U_y) $ .
因此，所有 $ \sigma $ 在我們正確/合法地使用微積分工具的意義上，它是明確定義的。
什麼是替代彈性？
彈性是指一件事相對於另一件事變化的百分比。因此，在這種情況下，它是兩種商品的百分比變化相對於單個商品的百分比變化 $ MRS $ 對於這兩種商品。