生產函式和彈性
讓 $ y=x_1^\alpha x_2^\beta $ 在哪裡 $ \beta=1-\alpha $ 是 Cobb-Douglas 生產函式。
求兩種商品的最優需求函式（以最小化生產成本）的彈性。 $ w_2/w_1 $ ( $ w_1,w_2 $ 是投入品的相應價格）。這對我們的支出有什麼影響 $ x_1 $ 與總成本相比？
我的嘗試
我發現了彈性 $ x_2^/x_1^ $ 寫 $ w_2/w_1 $ 是 1. 現在，我必須為在商品上花費的金額找到一個值 $ x_1 $ . 我怎樣才能用我的彈性做到這一點？我認為它必須是恆定的，但即使我發現彈性為 1，仍然不知道如何找到這樣的值。
編輯：我知道它必須保持不變。
一階條件使每個要素的邊際收益等於該要素的價格：
$$ \begin{align} p\cdot\alpha\frac{y}{x_1} &= w_1\ p\cdot\beta\frac{y}{x_2} &= w_2, \end{align} $$
我在哪裡使用冪函式的屬性 $ (x^n)’_n = n \frac{x^n}{x} $ .
將第二個 FOC 除以第一個得到相對價格和相對要素需求之間的關係：
$$ \frac{\beta}{\alpha}\frac{x_1}{x_2} = \frac{w_2}{w_1}. \tag{A} $$
從這個關係我們可以得出兩個結論：
- 以日誌形式重寫（A）：
$$ - \ln \frac{x_2}{x_1} + \ln \frac{\beta}{\alpha} =\ln \frac{w_2}{w_1}, $$
並使用彈性的對數定義 $ \epsilon_y^x = \frac{\mathrm{d}\ln y}{\mathrm{d}\ln x} $ 我們得出的結論是，相對要素需求隨著單位彈性的相對要素價格而下降：
$$ \frac{\mathrm{d}\ln x_2/ x_1}{\mathrm{d}\ln w_2/w_1} = -1. $$
- 將 (A) 的兩邊乘以 $ \frac{x_2}{x_1} $ :
$$ \frac{\beta}{\alpha} = \frac{w_2x_2}{w_1x_1}. \tag{B} $$
重排 (B) 表示不同要素的支出與其各自的投入彈性成正比，即如果我們在要素 1 上的總支出為 $ \$\alpha $ 那麼我們必須花費 $ \$\beta $ 關於因素 2。
總費用 $ C $ 以相同的比例分配，即對於一般的 Cobb-Douglas 生產函式，要素 1 上的支出為
$$ w_1 x_1 = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}C, $$
或者乾脆 $ w_1 x_1 =\alpha C $ 如果 $ \alpha+\beta=1 $ ，即如果生產函式是 1 次齊次的。