為什麼彭博的 HRH 會測試簡單的正常回報？
在彭博終端上，可以對單個資產使用 HRH（歷史收益直方圖）功能。它基本上生成（簡單）收益的直方圖，並用理論上的正態分佈覆蓋它們，表明（每日、每週、每月……）收益的分佈是否近似正態分佈。
使用幾何布朗運動模型，我們假設對數返回是正態分佈的，（簡單）返回是對數正態分佈的。因此我的問題是：為什麼它測試正態性而不是對數正態性？
對於小的更改，日誌返回 $ \ln \frac{S_{t_i}}{S_{t_{i-1}}} $ 接近於簡單的回報 $ \frac{S_{t_i}-S_{t_{i-1}}}{S_{t_{i-1}}} $ :
$$ \begin{align*} \ln \frac{S_{t_i}}{S_{t_{i-1}}} &= \ln \Big(1+ \frac{S_{t_i}-S_{t_{i-1}}} {S_{t_{i-1}}} \Big)\ &\approx \frac{S_{t_i}-S_{t_{i-1}}}{S_{t_{i-1}}}. \end{align*} $$ 還要注意，假設 SDE
$$ \begin{align*} \frac{dS_t}{S_t} = \mu dt + \sigma, dW_t, \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} \frac{S_{t_i}-S_{t_{i-1}}}{S_{t_{i-1}}} \approx \mu \Delta t_i + \sigma \Delta W_{t_i}, \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} \ln \frac{S_{t_i}}{S_{t_{i-1}}} = \big(\mu -\frac{1}{2}\sigma^2\big) \Delta t_i + \sigma \Delta W_{t_i}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \Delta t_i=t_i-t_{i-1} $ ， 和 $ \Delta W_{t_i} = W_{t_i}-W_{t_{i-1}} $ 是正常的。 也就是說，如果股票價格是對數正態分佈的，那麼對數回報是正態分佈的，而簡單回報是近似正態分佈的。