資產的封閉式公式，在其自身之上包含另一種資產的利率
我正在嘗試找到資產價格的封閉式公式 $ D $ 具有以下屬性：
- 資產以一定的利率增長 $ \mu $ 每時每刻。
- 另一個資產的 ( $ B $ ） 利率 $ \sigma $ 也隨時添加到資產中。
我想出了以下微分方程來表達這一點（直到爭論這是否正確）：
$$ \Delta D = D \mu \Delta t + B \sigma \Delta t $$
解決這個問題 $ D(t) $ 沒有 $ B \sigma \Delta t $ 部分會很容易（一些指數函式），但這個附加因素讓我絆倒（對不起，如果微不足道，uni已經有一段時間了）。我有一種感覺，這可以通過查看公式的形狀來使用乘積規則來完成。
另外，我知道 $ B $ 按照一定的利率增長 $ \sigma $ 所以 $ B(t)=B_1 e^{\sigma t} $ .
更新：
這是我（幾乎肯定是不正確的）使用產品規則的嘗試：
我們要解決：
$$ \frac{dD}{dt} = D \mu + B \sigma \tag{1}\label{1} $$
讓我們假設 $ D(t)=u(t)*v(t) $ .
根據產品規則，我們有：
$$ \frac{dD}{dt} = v \frac{du}{dt} + u \frac{dv}{dt} \tag{2}\label{2} $$
等式的第一項 $ \ref{1} $ 和 $ \ref{2} $ ，我們可以設置：
$$ D \mu = v \frac{du}{dt} $$
替代 $ D=uv $ 我們有：
$$ uv \mu = v \frac{du}{dt} \ \frac{du}{dt} = u \mu $$ $$ u = u_1 e^{\mu t} \tag{3}\label{3} $$ 等於第二項 $ \ref{1} $ 和 $ \ref{2} $ ，我們可以設置：
$$ B \sigma = u \frac{dv}{dt} $$
重新排列，我們有：
$$ \frac{dv}{dt} = \frac{B}{u} \sigma $$
替代 $ B(t)=B_1 e^{\sigma t} $ （從原始問題陳述中得知）和 $ \ref{3} $ ， 我們有：
$$ \frac{dv}{dt} = \frac{B_1 e^{\sigma t}}{u_1 e^{\mu t}} \sigma \ \frac{dv}{dt} = \frac{B_1 \sigma}{u_1} e^{ \left( \sigma - \mu \right) t} $$ $$ v = \frac{B_1 \sigma}{ \left( \sigma - \mu \right) u_1} e^{ \left( \sigma - \mu \right) t} \tag{4}\label{4} $$
結合 $ \ref{3} $ 和 $ \ref{4} $ ， 我們有：
$$ D = uv = \frac{B_1 \sigma}{ \sigma - \mu} e^{ \sigma t} $$
我不喜歡這個有很多原因。如果 $ \mu > \sigma $ 這將向負方向增長，這是沒有意義的。更多的興趣肯定會增加 $ D $ ，而不是減少它。另外，直覺上我期望 $ \mu $ 以指數形式出現在某處（畢竟這很有趣）。我在哪裡犯錯？
你的微分方程組是： $$ \begin{align} \text{d}B_t&=\sigma B_t\text{d}t \[2pt] \text{d}D_t&=(\mu D_t+\sigma B_t)\text{d}t \end{align} $$ 定義流程 $ X_t:=e^{-\mu t}D_t $ 並區分： $$ \begin{align} \text{d}X_t&=-\mu e^{-\mu t}D_t\text{d}t+e^{-\mu t}\text{d}D_t \ &=\sigma e^{-\mu t}B_t\text{d}t \ &=\sigma e^{(\sigma-\mu)t}B_0\text{d}t \end{align} $$ 通過積分，我們很容易得到： $$ \begin{align} X_t&=D_0+\sigma B_0\left(\frac{e^{(\sigma-\mu)t}-1}{\sigma-\mu}\right) \end{align} $$ 那是： $$ \begin{align} D_t=e^{\mu t}D_0+\frac{\sigma}{\sigma-\mu}(e^{\sigma t}-e^{\mu t})B_0 \end{align} $$ 了解動態的一個有趣觀察是： $$ \lim_{\mu\rightarrow\sigma}D_t=(D_0+\sigma t B_0)e^{\sigma t} $$ 最後一個等式與您的初始動態一致：過程 $ D_t $ 有一個增長成分等於由以下產生的持續回報 $ B_t $ ，對於每個無限小的時間單位，產生的回報等於 $ \sigma B_t $ . 之間賺取的“簡單利息” $ 0 $ 和 $ t $ 因此將等於： $$ \text{Rate}\times\text{Time}\times\text{Initial wealth}=\sigma\times t\times B_0 $$ 但是這個數量也在不斷地複合 $ \sigma $ ，因此從第二任期獲得的最終財富為 $ \sigma t B_0e^{\sigma t} $ .