隨機微分方程的確定性解釋
在*保羅威爾莫特關於量化金融的部分。埃德。*在卷。第 3 頁。784 和 p。809 下列隨機微分方程：
$$ dS=\mu\ S\ dt\ +\sigma \ S\ dX $$在離散時間近似為$$ \delta S=\mu\ S\ \delta t\ +\sigma \ S\ \phi \ (\delta t)^{1/2} $$在哪裡 $ \phi $ 是從標準化正態分佈中得出的。 這種似乎從維納過程的定義中自然得出的推理引發了一些我無法解決的想法和問題。考慮以下一般擴散過程：
$$ dS=a(t,S(t))\ dt\ +b(t,S(t))\ dX $$現在以與上述類似的方式轉換第二項並刪除隨機分量：$$ dS=a(t,S(t))\ dt\ +b(t,S(t))\ (dt)^{1/2} $$ **注意：**最後一項不是 Riemann-Stieltjes 積分（例如 $ d(t)^{1/2} $ )
我的問題
（1）您將如何解釋最後一個公式以及如何解析求解（現在是確定性的）微分方程？你會得到一個像伊藤引理那樣帶有二階導數的附加項嗎？
(2) 最後一項是 1/2 階的分數積分嗎（它是Semi-Integral）？或者這是一個完全不同的概念？(3) Ito 積分（從左端點）和Stratonovich 積分（左右端點的平均值
）的極限構造會不會有不同的結果？注意：這是來自mathoverflow的交叉發布，我沒有得到這些問題的答案。
(1) 您使用Ito 引理解析隨機微分方程 (SDE) 。您的第二個等式（離散化的）是您如何通過一步建模**一條路徑。為了找到解決方案，您將通過許多步驟對這些路徑中的許多路徑進行建模，然後採用期望值（即，蒙地卡羅方法）。SDE 的解決方案在預期中同時對所有這些路徑進行建模。如果沒有蒙地卡羅等數值技術，您無法直接切換到離散化版本並求解。微分符號實際上只是編寫 Ito 過程的更正式方式的簡寫。例如：
$$ S_t = x + \int_0^t \mu_s S_s ds + \int_0^t \sigma_s S_s dW_s \Leftrightarrow dS_t = \mu_t S_t dt + \sigma_t S_t dW_t $$ 然後用期望運算元求期望股價 $ S $ 有時 $ t $ 給定參數和原始股票價格 $ x $ . 你有具體的問題嗎？也許這裡有人可以幫助你。這些東西相當棘手，但注意到 Steve Shreve 後來內置到教科書系列中仍然可以免費獲得。如果您想了解更多，他的教科書非常平易近人。
(2) 不同的概念。伊藤微積分與我們在高中和本科學習的微積分有點不同。的力量 $ 1/2 $ 由於變異數 - 標準偏差轉換，因此在您的第二個等式中。我認為上面的維基百科和 Shreve 連結是最好的起點。
(3) 我不熟悉 Stratonovich 積分。