如何基於該模型得到期權價格的分析結果？
我為股價定義了這樣一個模型
(1)….
$$ dS = \mu\ S\ dt + \sigma\ S\ dW + \rho\ S(dH - \mu) $$ ， 在哪裡 $ H $ 是一個所謂的“可重置Poisson過程”，定義為
(2)….
$$ dH(t) = dN_{\lambda}(t) - H(t-)dN_{\eta}(t) $$ ， 和 $ \mu := \frac{\lambda}{\eta} $ .
是否可以推導出一些類似於 Black-Scholes 方程（3）的分析結果？
(3)….
$$ \frac{\partial V}{\partial t} + r\ S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{\sigma^2S^2}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} - r\ V = 0 $$ 更好的是，我們能否推導出類似於 Black-Scholes 公式的看漲/看跌期權價格？
我試過但失敗了。
在經典的 GBM 模型中，要獲得 Black-Scholes euqation (3)，基本步驟是：
根據伊藤引理，
(4)…
$$ df = (f_x+\mu f_x+\sigma^2/2\cdot f_{xx})dt + \sigma f_x dW $$ 基於GBM股票價格模型（5），
(5)…
$$ ds = \mu S dt + \sigma S dW $$ 我們有
(6)….
$$ dV = \left( \frac{\partial V}{\partial t} +\mu S \frac{\partial V}{\partial S}+\frac{\sigma^2 S^2}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt + \sigma S \frac{\partial V}{\partial S}dW $$ 再次將 (5) 代入 (6) 我們有
(7)….
$$ dV - \sigma S \frac{\partial V}{\partial S}dS = \left( \frac{\partial V}{\partial t} +\frac{\sigma^2 S^2}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt $$ 那麼我們可以定義（8）…
$$ \Pi = V - \frac{\partial V}{\partial S} S $$ , 所以 (7) 的 LHS 是 $ d\Pi $ 它與任何隨機效應無關，所以我們有 (9)…
$$ d\Pi = r \Pi dt $$ 然後我們得到（3）。 在我介紹了“可重置Poisson過程”之後 $ H_{\lambda, \eta}(t) $ 在模型中，我找不到取消兩者的方法 $ dW $ 和 $ dN $ ….
你知道如何解決這個問題嗎？
任何建議表示讚賞，我被困在這裡……
我沒有計算出明確的細節，但您可以使用 Ito 的 Jump Diffusions 公式重現 Black&Scholes 方法。例如，參見http://en.wikipedia.org/wiki /Itō’s_lemma中關於Poisson跳躍過程的部分
一般來說，每個馬爾可夫過程都承認某種伊藤公式，稱為 Dynkin 公式，它表示對於馬爾可夫過程 $ X $ 帶發電機 $ \mathcal{L} $ , 並且每個足夠平滑 $ f $ ,
$$ M^f_t = f( X_t ) - f( X_0 ) - \int_0^t \mathcal{L}f(S_s)ds $$是鞅。
是的，可以為這個模型推導出一個分析電話定價公式。它與 Merton 跳躍擴散非常相似，並且適用相同的技術。最終分佈是對數正態分佈的疊加，具有共同的變異數，但均值不同，具體取決於重置Poisson過程的最終水平。
讓我們找到 H(t) = 0 的機率 p。我將假設 H(0)=0；另一種情況類似。注意p’(t) = -lambda p(t) + eta (1-p(t))，反映跳出狀態H=0的lambda到達率和跳回該狀態的eta到達率. 這是一階可分 ODE，解 p(t) = eta/(eta+lambda) + lambda exp(-(eta+lambda)t)/(eta + lambda)。
H(t)=1 的機率 q 滿足 q’(t) = lambda p(t) - (lambda + eta) q(t)。這又是一階可分離的；積分我們得到 q(t)=lambda eta/(eta+lambda)^2 + exp(-(eta+lambda)t)(lambda^2(eta+1)t + lambda eta)/(eta+lambda)^ 2.
這變得混亂但並非難以處理。形式為常數 + 指數 * 多項式。概括，對於每個 n，H(t)=n 滿足 p_n’(t) = lambda p_n(t) - (lambda + eta) p_{n-1}(t) 的機率 p_n(t) 並且將有一個解形式為 p_n(t) = lambda^n eta/(eta + lambda)^(n+1) + exp(-(eta+lambda)t)*f_n(t) 其中 f_n(t) 是多項式n. 我沒有看到如何明確地寫出 f_n 的係數，但我們可以從 f_{n-1} 的係數遞歸地計算它們；如果有人真的想看細節問。
最後讓 BS(S,K,T,r,mu,sigma) 成為 Black-Scholes 呼叫定價公式。重置Poisson跳躍擴散下的看漲價格為 sum_{n=0}^infinity p_n(T) BS(S,K,T,r,mu-rho lambda/eta + n rho/T,sigma)。
在實踐中，總和應該很快收斂，所以我們可以在幾項後截斷。