關於貼現零息債券的證明
嘿伙計們，我無法完成這個證明：
命題 5.1 在上述假設下，過程 $ r $ 滿足下 $ \mathbb{Q} $ $$ d r(t)=\left(b(t)+\sigma(t) \gamma(t)^{\top}\right) d t+\sigma(t) d W^{*}(t) $$
在哪裡 $ W^{*}(t)=W(t)-\int_{0}^{t} \gamma(s)^{\top} d s $ 表示 Girsanov 變換 $ \mathbb{Q} $ -布朗運動。
現在我知道了 $ \frac{P(t, T)}{B(t)} $ 是貼現的零息債券，是 $ \mathbb{Q} $ - 鞅 $ P(t, T)=\mathbb{E}{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int{t}^{T} r(s) d s} \mid \mathcal{F}_{t}\right] $ .
現在我需要證明：對於任何 $ T>0 $ , 存在適應過程 $ \mathbb{R}^{d} $ 價值過程 $ v(t, T), t \leq T $ 這樣 $$ \frac{d P(t, T)}{P(t, T)}=r(t) d t+v(t, T) d W^{}(t) . $$ $$ \frac{P(t, T)}{B(t)}=P(0, T) \mathcal{E}{t}\left(\int{0} v(s, T) d W^{}(s)\right) $$
到目前為止我的嘗試：
記起 $ d\left(\frac{P(t, T)}{B(t)}\right) $ 是鞅，因此存在 $ k(t, T) $ 這樣 $ d\left(\frac{P(t, T)}{B(t)}\right) $ $ = k(t, T) w_{t}^{*} . $
讓 $ V(t, T)=\frac{K(t, T)}{\frac{P(t, T)}{B(t)}} $ 然後：
$ \frac{d\left(\frac{P(t, T)}{B(t)}\right)}{\frac{P(t, T)}{B(t)}}=V(t, T) d w^{*}(t) $
我不確定如何求解微分方程以完成證明。
就第二個等式而言，您的嘗試是正確的。儘管如此，我會在我的回答中包含這一點：你知道 $$ d\left(\frac{P(t,T)}{B(t)}\right)=k(t,T),dW^_t\quad\quad\quad\quad\quad\text{(1)} $$（我在哪裡修正了你的符號）。將 Ito 引理應用於該關係的 LHS 給出 $$ \frac{dP}{B}-P\frac{dB}{B^2}=\frac{P}{B}\left(\frac{dP}{P}-\frac{dB}{B}\right)=\frac{P}{B}\left(\frac{dP}{P}-r\right),. $$ 環境 $ v(t,T)=\frac{B(t)}{P(t,T)}k(t,T) $ 顯然給出 $$ \frac{dP}{P}-r=v(t,T),dW^_t,. $$ 這是您要顯示的第一個等式。要查看第二個等式，請觀察從（1）我們直接得到 $$ \frac{d\left(\frac{P(t,T)}{B(t)}\right)}{\frac{P(t,T)}{B(t)}}=v(t,T),dW^_t,. $$ 根據 Ito 公式，已知這等價於 $$ \frac{P(t,T)}{B(t)}=P(0,T),{\cal E}\left(\int_0^tv(s,T),dW^_s\right),. $$