欺騙性的抽獎
假設我們有一隻飢餓的狐狸。他有一大堆變質的胡蘿蔔，他不能吃（而且如果它們是新鮮的也不會吃），但他知道附近地區的當地兔子喜歡胡蘿蔔。
他把所有變質的胡蘿蔔都密封在一個密封的籃子裡，然後前往實施一個惡作劇的計劃。他向所有人宣布 $ n $ 他在該地區抽出的兔子數量 一大堆價值不菲的胡蘿蔔 $ x $ 他可以在附近的市場上買到這筆錢，但他決定用這些錢抽獎給他的好鄰居。他說他會私下把重物送到獲勝者的家中。
狐狸堅持要保持胡蘿蔔新鮮，並保持籃子關閉，所以兔子在抽獎前暫時無法聞到或看到胡蘿蔔。他打算賣票 $ p $ 每個錢，然後隨機選擇一張票作為獲勝者。一隻兔子可以買多張票。這個過程是公開的和可驗證的。當他把變質的胡蘿蔔送來時，他會表現出驚訝，然後退還獲勝者購買的任何門票，並告訴獲勝者他也會給剩下的兔子退款……然後在任何人面前帶著剩下的收益逃跑可以阻止他。
兔子們對整個抽獎活動都有不同程度的懷疑，但如果他們是贏家，他們不會要求與胡蘿蔔等值的替代獎品，並且會在狐狸在家時接受退款（這是一種文化事物）。我們說每個兔子對門票的預期效用是：
$$ \mathbb{E}[u_i(t_i, g_i)] = \frac{t_i}{\sum_i^n t_i}(g_i\cdot[C - x^2 + x] - pt_i) + (1 - \frac{t_i}{\sum_i^n t_i})(-pt_i) $$ 在哪裡 $ C>0 $ 是一些常數，並且 $ g_i \in (0, 1] $ 是一個均勻的輕信分佈（越高越容易輕信，每隻兔子都有不同的 $ g_i $ 分佈中的某處）。注意如果狐狸宣布 $ x $ 太高了，兔子們會認為抽獎好得令人難以置信，並開始對抽獎的重視程度低於他們的水平，在其他條件相同的情況下。 $ \mathbb{E}(u_i) $ 是公共資訊，並且分發 $ g_i $ 也是公共資訊。
我的問題是狐狸是否有可能
- 確定給定資訊的門票需求
- 如果是這樣，什麼 $ x $ 和 $ p $ 他應該宣布最大化預期利潤
- 如果不是，該問題需要哪些額外資訊才能成為令人信服的、可解決的問題
這裡的一個關鍵點是要注意，票的總數不是事先設定的。這很好，因為它使預期效用函式在 $ t_i $ ，因此允許我們繼續（中途）。
寫作 $ S $ 門票總數和 $ S_{-i} $ 總數減去兔子的購買量 $ i $ ，並簡化，預期效用是
$$ \mathbb{E}[u_i(t_i, g_i)] = \frac{t_i}{S}\cdot g_i\cdot [C-x^2+x] -pt_i \tag{1} $$ 一隻兔子關於購買的票數的效用最大化的一階條件是，
$$ \frac {\partial \mathbb{E}[u_i(t_i, g_i)]}{\partial t_i} = \frac{S_{-i}}{S^2}g_i\cdot [C-x^2+x] - p=0 $$ $$ \implies t_i = \left(\frac {S_{-i} g_i\cdot [C-x^2+x]}{p}\right)^{1/2} - S_{-i} \tag{2} $$ 滿足二階條件，因此這將是最大值。重新排列 $ (2) $ 我們獲得
$$ S = \left(\frac {S_{-i} g_i\cdot [C-x^2+x]}{p}\right)^{1/2} \tag{3} $$ 的選擇 $ i $ 是任意的，所以我們有
$$ S_{-i} g_i = S_{-j} g_j,;;; \forall i\neq j \implies (S-t_i)g_i = (S-t_j)g_j $$ $$ \implies t_j = S - \frac {g_i}{g_j}(S-t_i), ;;; \forall j\neq i \tag{4} $$ 總結 $ j\neq i $ 我們獲得
$$ S-t_i =S_{-i} = (n-1)S - (S-t_i)g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1} $$ $$ \implies (S-t_i) = \frac {n-1}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}S \tag{5} $$ 插入 $ (5) $ 進入 $ (3) $ 我們得到
$$ S = \left(\frac {\frac {n-1}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}S g_i\cdot [C-x^2+x]}{p}\right)^{1/2} $$ $$ \implies S = \frac {(n-1)g_i\cdot [C-x^2+x]}{\left(1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}\right)p} \tag{6} $$ 我們能夠將總需求表示為狐狸的決策變數和模型的參數/隨機變數的函式。儘管如此，它也暗示了這裡的問題（乘以 $ p $ 得到收入函式），但讓我們明確地推導出它。
供以後使用，從 $ (5) $ 我們也得到
$$ t_i = S\left(1-\frac {n-1}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}\right) \tag{7} $$ 轉向狐狸的利潤函式，它有一定的總收入等於 $ pS $ 然後她將不得不償還兔子贏得彩票所支付的金額。所以有機率 $ t_i/S $ 狐狸得到 $ pS - pt_i $ . 因此，在售票完成後，抽獎前的預期利潤函式為
$$ E(\pi) = \sum_{i=1}^n \frac {t_i}{S}\left(pS - pt_i\right) = p\sum_{i=1}^n \frac {t_i(S-t_i)}{S} \tag{8} $$ 插入 $ (5),(7) $ 進入 $ (8) $ ， 我們有
$$ E(\pi) = p\sum_{i=1}^n \frac {S\left(1-\frac {n-1}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}\right)\left(\frac {n-1}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}S\right)}{S} $$ $$ = pS\sum_{i=1}^n \left(1-\frac {n-1}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}\right)\left(\frac {n-1}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}\right) $$ 也使用 $ (6) $ 我們得到，簡化後
$$ E(\pi) = \frac {(n-1)^2g_i\cdot [C-x^2+x]}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}\cdot \sum_{i=1}^n \left[\frac {\left(g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}-n+2\right)}{\left(1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}\right)^2}\right] \tag{9} $$ 方程 $ (9) $ 揭示了這裡的問題：雖然從 $ (3) $ 狐狸可以推斷出所有實際實現的 $ g_i $ 的，事前，預期利潤函式看起來像一個非常複雜的函式 $ n $ 制服 $ (0,1) $ 隨機變數。
但最重要的是，利潤不取決於價格（因為從總收入開始不取決於價格）。雖然這是完全競爭環境中的標準（市場均衡決定價格），但這裡我們有壟斷。為了解決這個問題，人們應該回到預期的效用函式並改變它的準線性形式，並假設凹效用 $ pt_i $ , $ v(pt_i), v’>0, v’’<0 $ . 這將保持價格作為利潤函式的參數 $ x $ , 和利潤最大化 $ (p,x) $ 可以嘗試聯合起來。