向目標函式添加非綁定約束
我正在處理在 Tirole 的公司財務理論中發現的約束優化問題。我的問題與該模型的細節無關，只是為了提供一些背景資訊，我們正在解決最佳契約，以在成本高昂的狀態驗證環境中確保外部融資。 $ y(\hat{R}) $ 是收入時不進行審計的機率 $ \hat{R} $ 被報導。審計費用 $ K $ 給貸方。 $ w_0(\hat{R},R) $ 是在沒有審計的情況下對借款人的獎勵，並且 $ w_1(\hat{R},R) $ 在審計的情況下。
目標函式為：
$$ \max\limits_{y(\cdot),w_0(\cdot,\cdot),w_1(\cdot,\cdot)}\left{\int_0^\infty w(R)p(R)dR\right} $$ 借款人報告真實收入受激勵約束 $ R $ :
$$ w(R)=\max\limits_{\hat{R}}{y(\hat{R})w_0(\hat{R},R)+(1-y(\hat{R}))w_1(\hat{R},R)} $$ 以及提供貸款的貸方的收支平衡約束 $ I-A $ 給企業家。 $$ \int_0^\infty[R-w(R)-[1-y(R)]K]p(R)dR\geq I-A $$ 我的問題與以下內容有關。作者認為，由於第二個約束在平衡時綁定，因此可以將其添加到目標函式中。那麼這個問題就相當於最小化預期的審計成本：
$$ K\left[\int_0^\infty[1-y(R)]p(R)dR\right] $$ 受以上兩個約束。我不明白為什麼我們可以將綁定約束添加到目標函式並找到受相同約束的等效問題。有沒有我在此過程中遺漏的一般優化原則？謝謝！
為了說明 Tirole 所做的事情，讓我們考慮一個更簡單的環境。
考慮兩種商品的效用最大化問題， $ x $ 和 $ y $ . 消費者俱有效用函式 $ u(x,y) = f(x) + y $ ， 在哪裡 $ f $ 是嚴格遞增和嚴格凹的。消費者的問題是這樣的
$$ \begin{align} \max_{x,y} &\quad f(x) + y \ \text{s.t.} &\quad p_x x + p_y y \le m \end{align} $$ 鑑於條件 $ f $ ，我們知道預算約束必須綁定。也就是說，在上述最大化問題的任何解決方案中，必須是這樣的情況：
$$ p_x x +p_y y = m $$ 我們可以將上面的等式重新排列為
$$ y = \frac{m - p_x x}{p_y} $$ 因此，我們可以將此事實合併到我們的目標函式中，並使用上面導出的表達式 $ y $ 替換它。因此，我們的優化問題現在變成
$$ \max_x \quad f(x) + \frac{m - p_x x}{p_y} $$ 在某種程度上，這是一個更簡單的問題，因為我現在不再需要擔心 Kuhn-Tucker 條件。二階條件現在也更容易驗證。
Tirole 做了類似的事情。他利用約束具有約束力這一事實，通過用約束約束來表達目標來簡化目標函式。