凸性的代數方法
我有一個函式：[u(x)=x1+x2+min{x1,x2}數學處理錯誤]。我們如何以代數方式顯示它是否凸？此外，顯示任何給定函式是否為凸函式的一般方法是什麼。 $ u(x) = x_{1} + x_{2} + \min{x_{1}, x_{2}} $
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根據定義，對於凸子集[ C⊆RnMath Processing Error ]，凸函式[ f:C→RMath Processing Error ]滿足 $ C\subseteq \mathbb{R}^n $ $ f:C \to \mathbb{R} $
$$ f((1-t)x+ty)\leq (1-t)f(x)+tf(y) $$ 對於每個 $ x,y\in C $ 和 $ t \in (0,1) $ .
我們可以看看我們是否讓 $ x=(1,3) $ 和 $ y=(3,1) $ 和 $ t=\frac{1}{2} $ 那
$$ u((1-t)x+ty)=u(2,2)=6 \not \leq 5=\frac{u(1,3)}{2}+\frac{u(3,1)}{2}=(1-t)u(x)+tu(y) $$ 意味著你的函式不是凸的。正如您在評論中提到的那樣，[min數學處理錯誤]函式在周圍不可微 $ \min $ $ x_1=x_2 $ 給了你一個錯誤的答案，因為函式是分段線性的。
我原來的答案的其餘部分與現在的問題無關，但仍然有用。
更一般地，它有助於了解 [Math Processing Error] 上的凸函式的子空間是[ RnMath Processing RnError ]上的函式向量空間中的一個圓錐。 $ \mathbb{R}^n $ $ \mathbb{R}^n $
具體來說，令[ CMath Processing Error ]為[ Math Processing Error Rn→R]上的凸函式集，即[ RnMath Processing Error ]。 $ C $ $ \mathbb{R}^n $ $ \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $
如果 $ f,g\in C $ 和[數學處理錯誤] $ a,b\in \mathbb{R}^+ $ 然後 $ a\cdot f+b\cdot g \in C $
這意味著您可以開始查看“複雜”函式是否是凸函式，它們是否是已知凸函式的圓錐組合。