計算遊戲對稱 BNE 的另一種方法
我的問題。
考慮以下單個對象的拍賣。有 $ n \geq 2 $ 投標人。他們同時送出投標。該對像被分配給出價最高的玩家。如果中標者的出價是 $ b $ 他支付金額 $ \alpha b $ 在哪裡 $ \alpha $ 是一個正數。失敗者不支付任何費用。平局是隨機打破的，所有出價最高的玩家的機率相等。投標人對該物品的估價是私人資訊。特別是每個玩家 $ i $ 知道自己的估值 $ v_{i} $ 在單位區間內均勻分佈。估值在參與者之間獨立分配。
構造遊戲的對稱 BNE。（假設競價策略 $ b :[0,1] $ $ \rightarrow $ $ \mathbb{R} $ 在增長）。
解決方案
讓 $ b :[0,1] $ $ \rightarrow $ $ \mathbb{R} $ R 表示均衡競價策略。那麼對於每一個 $ v \in [0, 1] $ ，我們必須有：
$ v=arg $ $ max_{w}((v-\alpha b(w))w^{n-1} $
我們計算一階條件 $ v $ 並獲得：
$ -\alpha b^{’}(v)v^{n-1}+(n-1)(v-\alpha b(v))v^{n-2}=0 $
我們可以簡化為：
$ -\alpha b^{’}(v)v+(n-1)(v-\alpha b(v))=0 $
這個微分方程的解是線性的： $ b (v) = Av $ 在哪裡 $ A $ 滿足
$ -\alpha Av+(n-1)(v-\alpha Av)=0 $
因此，均衡競價策略為
$ b(v)=\frac{n-1}{n \alpha}v $
是否有替代方法來計算上述問題的 BNE
在遞增策略中還有另一種計算對稱 BNE的方法。
讓 $ U(v) $ 表示當他的類型為 $ v $ ：鑑於競價策略正在增加，類型為 $ 0 $ 會以零機率得到好東西。
因此他/她必須出價為零並且 $ U(0) = 0 $ . 對於任何其他 $ v > 0 $ ，玩家得到物品的機率為 $ Q (v) = v^{n-1} $ （這是所有其他玩家的類型低於 $ v $ ) 從機制設計的課程中，我們知道：
$ U(v) = U(0) + \int_{0}^{v} Q(x) ,dx = \int_{0}^{v} x^{n-1} ,dx = \frac{v^{n}}{n} $
另一方面，我們可以寫 $ U(v) $ 作為
$ U(v)= (v-\alpha b(v)))v^{n-1} $
所以
$ (v-\alpha b(v))v^{n-1} = \frac{v^{n}}{n} $
和
$ b(v) = \frac{n-1}{n \alpha} v $