代理人的預期效用僅取決於均值和變異數
考慮一個具有期望效用函式的代理 $ U(L) = \sum_{s=1}^{S}\pi_s U(Y_s) $ 超過彩票 $ L = (Y_s, \pi_s) $ 在哪裡 $ \pi_s $ 是狀態的機率 $ s $ , $ Y_s $ 是狀態 $ s $ 收益，和 $ U(y_s) = -\frac{1}{2}(\alpha - Y_s)^2 $ 為了 $ Y_s < \alpha $ 是收益上的效用指數。證明該代理人的預期效用僅取決於狀態或有收益的均值和變異數。
我真的不明白這個問題要我展示什麼。非常感謝任何建議或意見。具體來說，是問我要找的問題嗎
$$ E[U(s_s)] $$和$$ Var[U(Y_s)] $$如果是這樣，當我們真的沒有任何定義的分佈時，我們該怎麼做 $ Y_s $ ? 甚至意味著代理人的預期效用的平均值僅取決於狀態或有收益的平均值和變異數。對我來說沒有意義，作為應用數學研究生，我沒有太多的經濟學背景。
$$ \begin{eqnarray*} \displaystyle U(L) & = &\sum_{s=1}^{S}\pi_s U(Y_s) = \sum_{s=1}^{S} \left(-\frac{1}{2}\pi_s(\alpha - Y_s)^2\right) = -\frac{1}{2}\sum_{s=1}^{S} \left(\pi_s(\alpha^2 + Y_s^2-2\alpha Y_s)\right) \ &=& -\frac{1}{2}\left(\alpha^2\sum_{s=1}^{S} \pi_s + \sum_{s=1}^{S} \pi_sY_s^2-2\alpha \sum_{s=1}^{S} \pi_sY_s\right) = -\frac{1}{2}\left(\alpha^2 + \mathbb{E}(L^2)-2\alpha \mathbb{E}(L)\right) \ &=& -\frac{1}{2}\left(\alpha^2 + \mathbb{E}(L^2) - (\mathbb{E}(L))^2 + (\mathbb{E}(L))^2 -2\alpha \mathbb{E}(L)\right) \ &=& -\frac{1}{2}\left(\alpha^2 + \mathbb{V}(L) + (\mathbb{E}(L))^2 -2\alpha \mathbb{E}(L)\right) \end{eqnarray*} $$ 所以彩票的效用只取決於期望值 - $ \mathbb{E}(L) $ 和變異數 - $ \mathbb{V}(L) $ 的狀態或有收益。