微觀經濟學
Cobb Douglas 商品是互補品還是替代品？
給定
$$ U(x,y)= x^\alpha y^{1-\alpha} $$ $ \alpha \in (0,1) $ , 是 Cobb Douglas 的商品（這裡 $ x $ 和 $ y $ ) 補充、替代或兩者都不是？為什麼？ 混合偏導數的解釋會很好。我的微積分比我的經濟技能好。
從更通用的 CES 功能開始 $ U=[a*x^b+(1-a)*y^b]^{1/b} $ . 計算該函式的替代彈性。然後計算 U 的函式形式 $ b=0 $ , $ b=1 $ 和 $ b=-\infty $ . 您將找到 CES 的兩個極端（完美補充/替代）案例，以及 b=0 的常見案例 CD。
當你問它們是互補品還是替代品時，試著想想你的意思。
你可能的意思是：“我的邊際效用在 $ x $ 當我得到更多時增加 $ y $ ? 這將對應於交叉導數 $ \frac{\partial U^2}{\partial x \partial y} $ .
您可以（這是慣例）意味著對價格變化的反應。在給定預算約束的情況下，用星號表示效用最大化的捆綁包。
$$ x^* (p_x, p_y), y^*(p_x, p_y) = \arg\max_{x,y} U(x,y) + \lambda(Y - p_x x - p_y y) $$ 那麼，如果您提高一種商品的價格，而另一種商品的需求減少，則該商品是互補品：
$$ \frac{\partial x^* (p_x, p_y)}{\partial p_y} < 0 \ \frac{\partial y^* (p_x, p_y)}{\partial p_x} < 0 $$ 如果大於零，則替換。對於該部分恰好為零的情況，替代彈性為零。自己試試哪種情況適合 Cobb-Douglas！