加法可分離效用函式中的商品是正常商品嗎？
受到這個答案的啟發。
更準確地說，正常商品是指需求（不一定嚴格）增加收入，而加性可分離效用函式是指存在單調變換 $$ U(x_1,x_2,\dots) = f_1(x_1) + f_2(x_2) + \dots $$ （也假設 $ U $ 所有變數都在增加。）
給定線性預算約束和最大化消費者的效用，做這些商品 $ x_i $ 對所有收入水平都表現出正常行為？
是的，如果您假設子效用函式是凹的。請注意，這是一個標准假設，否則效用函式 $ u = \sum_i f_i $ 不保證是凹的（也不是準凹的）。
讓我們表示 $ u_i = \dfrac{\partial u}{\partial x_i} $ 並通過 $ u_{i,j} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} $ . 通過加法 $ u_{i,j} = 0 $ 如果 $ i \ne j $ .
效用最大化問題的一階條件給出： $$ \begin{align*} u_i = \lambda p_i, \tag{1}\ \sum_i p_i x_i = m \tag{2} \end{align*} $$ 在收入方面區分兩者 $ m $ （並使用 $ u_{i,j} = 0 $ ) 給出：
$$ \begin{align*} &u_{ii} \frac{\partial x_i}{\partial m} = p_i \frac{\partial \lambda}{\partial m} \tag{3}\ &\sum_i p_i \frac{\partial x_i}{\partial m} = 1 \tag{4} \end{align*} $$ 代替 $ (3 $ ） 進入 $ (4) $ : $$ \begin{align*} &\sum_i (p_i)^2 \frac{\partial \lambda}{\partial m} \frac{1}{u_{ii}} = 1,\ \to &\frac{\partial \lambda}{\partial m} = \frac{1}{\sum_i \frac{(p_i)^2}{u_{ii}}} \tag{5} \end{align*} $$ 請注意 $ u_{ii} < 0 $ 通過子效用函式的凹度。像這樣， $ \frac{\partial \lambda}{\partial m} < 0 $ 而且，通過 $ (3) $ : $$ \frac{\partial x_i}{\partial m} = p_i \frac{1}{u_{ii}} \frac{\partial \lambda}{\partial m} > 0 $$ 因為右邊是兩個負數的乘積。
這表明 $ x_i $ 是正常的好。通過對稱性，這適用於所有商品。
另一種更快注意到這一點的方法是查看
- 經過 $ (3) $ 的標誌 $ \dfrac{\partial x_i}{\partial m} $ 將是符號的反面 $ \dfrac{\partial \lambda}{\partial m} $ .
- 所有商品都必須如此，這意味著要麼所有商品都是正常的，要麼所有商品都是劣質的。
- 從 $ (4) $ ，因此至少有一種商品應該是正常的（否則總和不能等於大於零的 1）。
- 結論是所有商品都必須是正常的。