Arrow debreu 均衡或 Radner 均衡與現貨價格
假設有 2 個狀態、2 個商品和 2 個消費者，消費者的期望效用函式相同： $ U^i (x)= \sum_{s=1,2} \pi_s (\ln x_{1s}+\ln x_{2s} ) $ 在哪裡 $ \pi=(1/3,2/3) $ .
禀賦是 $ e_s=(e_1, e_2) = (12,12) $ .
消費者 1 擁有狀態 1 中的所有內容，消費者 2 擁有狀態 2 中的所有內容。
存在一個 Radner 平衡，即 $ x^1_s=(4,4) $ 和 $ x^2_s=(8,8) $ .
現貨價格是多少 $ (p_{1s}, p_{2s}) $ ? 你可以正常化 $ p_{1s}=1 $ .
我做了拉格朗日並得到了 $ p_{2s}=1 $ 從 MRS=相對價格條件。
但是我的答案是正確的嗎？
我不明白為什麼當狀態機率不同時兩種商品的價格相同。
那個現貨價格跟ADE一樣嗎？
我覺得這個符號有點不尋常。實際寫出向量可能會更好 $$ x^i = (x_{11}^i, x_{21}^i,x_{12}^i, x_{22}^i), $$ 其中第一個較低的指數表示商品，第二個指數表示狀態，而不是依賴於在這個特定問題中每個代理的均衡消費是獨立於狀態的事實。均衡價格向量也是如此 $ (p_{11}, p_{21},p_{12}, p_{22}) $ .
價格比 $ p_{1s} / p_{2s} $ 表示給定狀態下兩種商品的匯率，價格比 $ p_{11} / p_{12} $ 預先顯示有多少州 2 單位的財富值一個州 1 單位的財富。
鑑於上述均衡，這個特定的效用函式確實意味著 $$ 1 = \frac{4}{4} = |MRS^1_{x_{11}x_{21}}(4,4)| = \frac{p_{11} }{ p_{21}}. $$ 請注意，如果效用函式是 $$ U^i (x)= \sum_{s=1,2} \pi_s (\color{red}{2} \cdot \ln x_{1s}+\ln x_{2s} ) $$ 相同的分配仍然是均衡分配，但上述價格比率將變為 $ 2 $ ，所以得到 $ 1 $ 在這個問題上只是一個意外。
一個也可以得到價格比 $$ \frac{p_{11} }{ p_{12}} = |MRS^1_{x_{11}x_{\color{red}{12}}}(4,4)|. $$