阿羅不可能定理和投票方案
阿羅的不可能定理指出，沒有任何程序可以將個人偏好排序聚合成一個滿足某些明顯可取的公理的集體偏好排序。這通常被認為意味著沒有一個好的投票系統。然而，實際的投票系統通常不會嘗試生成（完整的）社會秩序。相反，我們的目標是簡單地選擇一位將執政的候選人——而對其他候選人進行排名的任務雖然可能很有趣，但並不具有直接的實際意義。這提出了一個簡單的問題：Arrow 的結果是否擴展到基於個人偏好概況選擇單個候選人的偏好聚合程序？
為了使這一點更準確，讓我（非正式地）重申阿羅的公理以適應手頭的問題：
不受限制的域。該過程為每個可能的單個排序列表選擇一個最佳候選者。
弱帕累托。如果所有選民都更喜歡候選人 A 而不是候選人 B，則候選人 B 不會當選。
非獨裁。沒有選民單獨決定哪位候選人當選（不管其他選民的偏好順序如何）。
無關選擇的獨立性。如果候選人 A 在與一組競爭對手候選人的反對時當選，那麼 A 在被這組競爭對手候選人中的某個子集反對時仍將當選。
（請注意，傳遞性公理似乎不能適應這種情況。）
問題：是否存在滿足上述所有公理的投票方案？
在以下意義上，答案是否定的。
假設有 $ N = {1,\dots,n} $ 個人，以及 $ M $ 替代品，其中 $ |M|\geq 3 $ .
讓 $ \mathcal{P} $ 成為嚴格偏好的空間 $ M $ , 每個人都有偏好 $ P_i \in \mathcal{P} $ ， 然後讓 $ P = {P_1,\dots,P_n} $ 成為偏好的概況。
我們尋找一個社會選擇函式 $ f:\mathcal{P}^N \rightarrow M $ .
- $ f $ 如果所有個人都排名，則滿足一致（弱帕累托） $ a $ 首先，然後 $ f(P) = a. $
- $ f $ 如果說實話是一種佔優策略，那麼它就是策略證明。
- $ f $ 如果存在個人，則為獨裁 $ i $ 這樣每當 $ f(P) = a $ ， 然後 $ a $ 根據排名第一 $ i $ .
定理(Gibbard-Satterthwaite) 社會選擇函式 $ f $ 當且僅當它是獨裁的時，它是一致的並且是策略證明的。
阿羅不可能定理（關於社會選擇函式）中的公理是關於偏好配置文件的，關於社會選擇函式的類似定理也應該如此。您列出的 IIA 公理是關於一組替代方案，而不是偏好配置文件。
MWG 中的第 21.E 章證明了社會選擇函式的結果，類似於阿羅的社會選擇函式的不可能性結果。在那裡，IIA 的對應物是單調性條件，它要求社會選擇函式對於僅影響目前選擇的替代方案的下輪廓集的偏好配置文件的變化是不變的。
正如 IIA 要求社會福利函式對備選方案的排名 $ x $ 和 $ y $ 當它們在兩個偏好配置文件中的相對排名不變時保持不變，因此單調性要求社會福利函式選擇相同的替代方案 $ x $ 只要它相對於其他選擇的相對位置在兩個偏好配置文件中保持不變。
形式上，單調性可以定義如下：
認為 $ f(\succsim_1,\dots,\succsim_I)=x $ . 如果對於所有個人 $ i $ 和所有 $ y\ne x $ ，不同的偏好配置文件 $ (\succsim_1’,\dots,\succsim_I’) $ 是這樣的 $ x\succsim_iy \Rightarrow x\succsim_i’y $ ， 然後 $ f(\succsim_1’,\dots,\succsim_I’)=x $ .
然後，MWG 的第 21.E.1 號提案說：
假設備選方案的數量至少為三個，並且可接受的偏好配置文件的域是 $ \mathcal A=\mathbb R^I $ 或者 $ \mathcal A=\mathcal P^I $ . 那麼每個弱帕累托和單調的社會選擇函式 $ f:\mathcal A\to X $ 是獨裁的。