拍賣理論：證明找到的均衡確實是最優的
我一直在研究拍賣理論，在 Krishna 的《拍賣理論》一書中，有一個（看似簡單的）不等式是我無法理解的。
背景：給予私人估值 $ x $ , 已找到最優競價策略 $ \beta(x) $ . 現在，作者想表明你的行為和出價就像你是類型 $ z $ , $ \beta(z) $ 不會增加利潤。然後，計算最佳利潤和利潤之間的差異，如果你表現得好像你是那種人 $ z $ 導致以下不等式。 $ G(x) $ 為機率分佈： $$ \pi(\beta(x),x) - \pi( \beta(z),x) = G(z)(z-x) - \int_x^zG(y)dy \geq 0 $$
利潤函式是從第一價格拍賣中計算出來的，以防它對任何人有幫助。我的問題是為什麼不等式成立。為什麼是 $ G(z)(z-x) - \int_x^zG(y)dy $ 大於 0？
我希望你能幫幫我 ：）
$$ G(z) (z-x) = \int_x^z G(z) dy $$ 並且因為 $ G $ 正在增加 $ [x,z] $ , 右手邊大於 $ \int_x^z G(y) dy $ .
儘管已經有一個公認的答案，但還有另一種方法可以看到全域最優性——或者更確切地說，用不同的公式以同樣的方式。
通過施工， $$ \frac{\partial \pi}{\partial b}(b,x) = - G((\beta)^{-1}(b)) + (x-b) \frac{G’((\beta)^{-1}(b))}{(\beta)’((\beta)^{-1}(b))}\Bigg{|}_{b=\beta(x)}= 0, $$ 在哪裡 $ \frac{\partial \pi}{\partial b}(b,x) $ 正在增加 $ x $ .
現在考慮一些出價 $ \widehat b<\beta(x) $ . 通過連續性 $ \beta $ , 有一個類型 $ \widehat x<x $ 這樣 $ \beta(\widehat x)=\widehat b $ . 因此，因為 $ \widehat x<x $ , $$ \frac{\partial \Pi}{\partial b}(\widehat b,x) \geq \frac{\partial \Pi}{\partial b}(\widehat b, \widehat x) = \frac{\partial \Pi}{\partial b} (\beta(\widehat x),\widehat x) = 0. $$ 因此，預期效用 $ \Pi( b,x) $ 正在增加 $ b $ 對全部 $ b<\beta(x) $ . 類似地， $ \Pi(b,x) $ 所有人都在減少 $ \widehat b’>\beta(x) $ .