貝格曼和莫里斯的貝氏相關均衡
Bergemann 和 Morris的論文基於有關資訊集及其擴展的一些基礎證明了一個定理。我試圖理解定理一種直覺，更準確地說，我引用了我們需要知道的適當部分，即：
$ \textbf{Definition 4:} $ （組合）。資訊結構 $ S^∗ = (T^∗, \pi^∗:\Theta\to\Delta(T_i^*)) $ 是資訊結構的組合 $ S^1 = (T^1, \pi^1) $ 和 $ S^2 = (T^2, \pi^2) $ 如果
$$ T_i^=T_i^1\times T_i^2,\quad\text{for each $i$} $$ 和 $$ \sum_{t_i^2\in T_i^2}\pi^(t_i^1,t_i^2|\theta)=\pi(t_i^1|\theta),\quad\text{for each $t_i^1\in T_i^1$ and $\theta\in\Theta$} $$
$$ \sum_{t_i^1\in T_i^1}\pi^*(t_i^1,t_i^2|\theta)=\pi(t_i^2|\theta),\quad\text{for each $t_i^2\in T_i^2$ and $\theta\in\Theta$} $$
請注意，上述定義對信號是否 $ t_i^1\in T_i^1 $ 和 $ t_i^2\in T_i^2 $ 是獨立的或相關的，取決於 $ \theta $ ， 在下面 $ \pi^∗ $ . 因此任何一對資訊結構 $ S^1 $ 和 $ S^2 $ 將有許多組合的資訊結構。
$ \textbf{Definition 5:} $ （擴張）。資訊結構 $ S^∗ $ 是一個擴展 $ S^1 $ 如果 $ S^∗ $ 是一個組合 $ S^1 $ 和其他一些資訊結構 $ S^2 $ .
假設策略配置文件 $ \beta $ 曾在 $ (G, S^∗) $ ， 在哪裡 $ S^∗ $ 是兩種資訊結構的組合 $ S^1 $ 和 $ S^2 $ . 現在，如果分析師沒有觀察到組合資訊結構的信號 $ S^∗ $ ，但只有信號 $ S^1 $ ，然後是策略配置文件下的行為 $ \beta $ 將引發一個決策規則 $ (G, S^1) $ . 正式地，戰略概況 $ \beta $ 為了 $ (G, S^∗) $ 導出決策規則 σ 為 $ (G, S^1) $ :
$$ \begin{equation}\sigma(a|t_i^1,\theta):=\frac{\sum_{t_i^2\in T_i^2}\pi^*(t_i^1,t_i^2|\theta)\Pi_{j=1}^i\beta_{j}(a_j|t_i^1,t_i^2)}{\pi(t_i^1|\theta)}\end{equation} $$ 對於每個 $ a\in A $ 每當 $ \pi^1(t_i^1|\theta) > 0 $ .
基於以上內容，作者給出了貝氏納什均衡和貝氏相關均衡之間的聯繫，即
$ \textbf{Theorem 1:} $ 決策規則 $ \sigma $ 是一個貝氏相關均衡 $ (G, S) $ 當且僅當，對於某些擴展 $ S^∗ $ 的 $ S $ , 有一個貝氏納什均衡 $ (G, S^∗) $ 導致 $ \sigma $ .
我有以下問題
$ \textbf{Question 1:} $ 他們定義規則 $ \sigma(a|t_i^1,\theta) $ 以某種方式在 BNE 和 BCE 集合之間建立聯繫，我不明白他們為什麼這樣做？
$ \textbf{Question 2:} $ 的解釋是什麼 $ \sigma(a|t_i^1,\theta) $ ，就可移植性而言，有人可以說這是貝氏規則，但是所有這些參數為 $ \pi^* $ , $ \beta $ 和 $ \pi(t_i^1|\theta) $ 有一些直覺的解釋是什麼？
$ \textbf{Question 3:} $ 為什麼這條順從的規則如此特別 $ \sigma(a|t_i^1,\theta) $ 對於 BNE 和 BCE 來說，從一套解決方案過渡到另一套解決方案就足夠了嗎？我有點困惑，因為這兩組似乎是另一組的子集。
$ \textbf{Question 4:} $ BNE 和 BCE 是否直接或間接相關？如果不是，這裡這樣做的目的是什麼？
假設您是一名研究貝氏博弈的分析師。你知道玩家、可能的自然狀態、公共先驗、行動空間、支付函式，並且你知道玩家可用的一些資訊渠道，後者通過一些資訊結構給出。但是，您不能排除玩家可以使用其他資訊渠道。這些附加資訊可以通過擴展來建模。
現在，您可以確定他們對他們擁有的所有資訊渠道都進行了貝氏-納什均衡，而您只知道其中一些資訊渠道。然後，根據論文的定理 1，參與者將針對您作為分析師所知道的那些資訊結構進行貝氏相關均衡。
現在，你，分析師，也許能夠觀察到 $ \theta $ , 信號 $ t_i $ ，以及選擇的動作。從這些動作的聯合分佈中，您可以得出動作配置文件的條件分佈。這種條件分佈正是決策規則 $ \sigma $ .