預算集-封閉和有界
我對經濟學相當陌生，我們被介紹給預算集，教授提到預算集 $ B(p,w) = {x \in R^{l}_{+}: px \leq w} $ 是非空且封閉的 - 我可以通過獲取序列來證明後者（封閉部分），但我如何聲稱它是非空的？
此外，如果一種商品的價格變為零，那麼有界性會怎樣？ $ B(p,w) $ ? - 我知道零價格意味著“免費商品”，人們可以無限量購買它。但是如何嚴格證明呢？
預算集總是在給定價格向量的情況下定義 $ p=(p_i)_{i\leq l} $ （這好像是 $ l $ 是您的問題中的商品數量）和收入 $ w $ . 我們通常隱含地假設價格嚴格為正且收入是有限的。否則，正如您正確指出的那樣，我們最終以無限消費為最優，我們甚至沒有經濟問題（將經濟學鬆散地定義為關於分配稀缺商品的激勵科學）。
如果存在上限和下限，則集合是有界的。我們有下界 $ x_i\geq 0 $ 適用於所有商品 $ i $ 通過構造問題。我們只能對任何數量有一個上限 $ x_i $ 如果 $ p_i>0 $ 和一個有限的 $ w $ . 假設一些有限的 $ \overline x= (\overline x_i)_{i \leq l} $ 是一個上限並且 $ p_i=0 $ 對於一些 $ i $ . 然後你可以看到這個 $ \overline x_i $ 不能是上限，因為 $ \overline x_i+\epsilon $ 也在預算中為任何 $ \epsilon>0 $ .
編輯：對不起，我忽略了關於非空的問題。取任何有限的收入和正的價格，並註意 $ x $ 是一個連續的選擇。取最高價 $ \overline p= \max_i (p_i){i\leq l} $ 然後考慮一個量向量 $ \widehat x= (\widehat x_i){i\leq l} $ 和 $ \widehat x_i= \frac{w}{l \overline p} $ 然後 $ \sum \widehat x_i p_i \leq \sum \widehat x_i \overline p = l \frac{w}{l \overline p} \underline p=w $ . 所以量向量 $ \widehat x $ 在預算集中，不能為空。