從效用函式計算收入和替代效應
實用功能 $ U(x_1 , x_2) = x_1 + 4 * x_2 $
$ p_1 = 3, p_2 = 8, m =120 $
$ p_2 $ 從變化 $ 8 $ 到 $ 10 $
如何計算收入和替代效應。
我首先想到的是計算 MRS，使效用函式的偏導數得到 $ MRS = 1/4 $ 這意味著消費者在任何給定時刻總是喜歡好的 $ x_2 $ 因此只買那個好。一開始他只能買 $ m/p_2 = 120/8 = 15 $ 所以捆綁將是 $ (0,15) $ 在價格變化之後 $ (0,12) $ （不確定）。
我還通過插入計算了上一點的實用程序 $ (0,15) $ 進入 $ U(x_1 , x_2) = x_1 + 4 * x_2 $ 這導致 $ 60 $
$ 60/p’_2 - 60/p_2 $ = $ 60/10 - 60/8= - 1.5 $ = 替代效應
我不確定我所做的是否正確以及替代效果是否為 1.5。有沒有辦法以圖形方式視覺化？我想過用做線性方程 $ m/p_2 $ 和 $ m/p’_2 $ 如下所示：
我錯過了什麼嗎？任何幫助表示讚賞
首先，事實是 $ MRS=\frac{1}{4} $ 不會自己告訴你消費者只會購買 $ x_2 $ . 我們需要回到第二戈森定律： $ \frac{Um{x_1}}{p_1}=\frac{Um{x_2}}{p_2} $ （這是從哪裡 $ MRS $ 順便說一句）事實並非如此，因為 $ \frac{1}{3}<\frac{4}{8}=\frac{1}{2} $ .
所以你是對的，消費者首先不會消費任何 $ x_1 $ . 這也是由於您的函式的線性形式，因為您沒有遞減的邊際效用 $ x_2 $ 即使你得到越來越多 $ x_2 $ （例如，這是一種非常常見的貨幣建模形式）。
價格變動後 $ p_2 $ 只吃的決定 $ x_2 $ 一直以來 $ \frac{1}{3}<\frac{4}{10}=\frac{2}{5} $ . 有了這樣的推理，你就會很容易理解，價格上漲沒有替代效應 $ p_2 $ . 如果你想要一個正式的展示：
**替代效應：**當價格隨購買力不變而變化時，消費者用另一種商品替代了多少？隨著對商品 2 的需求： $ x_2=\frac{m}{p_2} $ , 並表示 $ m’ $ 和 $ p_2’ $ 我們擁有的“新”收入和新價格： $ \Delta x_2^s= x_2(p_2’,m’)-x_2(p_2,m) $ . 這 $ m’ $ 是“新”收入，因此我可以購買相同數量的 $ x_2 $ 在價格變化之前，即增加： $$ \begin{aligned} \Delta m&=15(10-8)=30 \ m’&=m+\Delta m=150 \ x_2^s&=\frac{150}{10}-\frac{120}{8}=0 \end{aligned} $$
然而，由於購買力的改變，它仍然是收入效應，即需求的變化。
$$ \begin{aligned} \Delta x_2^i=& x_2(p_2’,m)-x_2(p_2’,m’) \ =& x_2(10,120)-x_2(10,150) \ =& 12-15=-3 \end{aligned} $$
所以需求的總變化只與收入效應有關，為-3。