城市經濟學範例中的微積分和無差異曲線
我正在閱讀Jan Brueckner的論文《城市均衡結構》。
它採用單中心城市模式，所有消費者都獲得收入 $ y $ 在城市的中心。他們買 $ q $ 有價買房 $ p $ 在遠處 $ x $ 從中心出發，產生運輸費用 $ tx $ .
消費者俱有效用函式：
$ v(c,q)=v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))=u $
在哪裡 $ \phi=x,y,t,u $
預算約束為：
$ c = y - tx - pq $
相切條件意味著：
$ \frac{v_1(y - tx - pq, q)}{v_2(y - tx - pq, q)} = p $
其中下標 1 表示對第一個參數等的偏微分。
然後論文討論瞭如何 $ p $ 和 $ q $ 隨 $ x, y, t $ 和 $ u $ .
如果 $ \phi=x,y,t $ ，我們保持在同一條無差異曲線上。我發現它相對容易找到 $ \frac{\partial{p}}{\partial{x}},\frac{\partial{p}}{\partial{y}} $ 和 $ \frac{\partial{p}}{\partial{t}} $ .
如果 $ \eta $ 是收入補償需求曲線的斜率，那麼 $ \frac{\partial{q}}{\partial{\phi}} = \eta\frac{\partial{p}}{\partial{\phi}} $ .
現在允許 $ u $ 改變。預算約束擺動以滿足新的無差異曲線，確定新的無差異曲線 $ p $ 和 $ q $ .
我能找到 $ \frac{\partial{p}}{\partial{u}} $ . 完全區分效用函式 wrt u：
$ \frac{d}{du}[v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))= u] = v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})+v_2(\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=1 $
因為，由相切條件 $ v_2=pv_1 $ :
$ v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}}+p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q)=1 $
所以 $ \frac{\partial{p}}{\partial{u}} = \frac{-1}{qv_1} $ .
論文隨後引用：
$ \frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta $
我不知道如何得出這個。我猜方括號中的第一項是替代效應，第二項是收入效應。
請幫助我理解最後一個表達 $ \frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta $ 以及如何推導它。
考慮的效用函式是 $ v(c,q) $ 進而
$$ MRS(c,q) = \frac{\partial v/\partial q}{\partial v/\partial c} = v_2/v_1 $$
使函式依賴於 on $ u $ 明確的那麼你有
$$ \frac{\partial}{\partial u}MRS(c(u),q(u)) = \frac{\partial MRS(c(u),q(u))}{\partial c} \frac{\partial c(u)}{\partial u} + \frac{\partial MRS(c(u),q(u))}{\partial q} \frac{\partial q(u)}{\partial u} = \frac{\partial p(u)}{\partial u}, $$
最後一個身份在哪裡，因為你知道 $ p = MRS $ . 現在只需重新排列身份
$$ \frac{\partial MRS(c(u),q(u))}{\partial c} \frac{\partial c(u)}{\partial u} + \frac{\partial MRS(c(u),q(u))}{\partial q} \frac{\partial q(u)}{\partial u} = \frac{\partial p(u)}{\partial u}, $$
要得到
$$ \frac{\partial q(u)}{\partial u} = \frac{\left[\frac{\partial p(u)}{\partial u} - \frac{\partial MRS(c(u),q(u))}{\partial c} \frac{\partial c(u)}{\partial u}\right]}{\frac{\partial MRS(c(u),q(u))}{\partial q} }, $$
然後使用 Brueckner 定義的 $ \eta := \left[\frac{\partial MRS(c(u),q(u))}{\partial q}\right]^{-1} $ 在腳註（3）中得到
$$ \frac{\partial q(u)}{\partial u} = \left[\frac{\partial p(u)}{\partial u} - \frac{\partial MRS(c(u),q(u))}{\partial c} \frac{\partial c(u)}{\partial u}\right] \eta , $$
最後應用以下規則 $ \frac{\partial c(u)}{\partial u} = \frac{1}{\partial v/\partial c} = 1/v_1 $ 要得到
$$ \frac{\partial q(u)}{\partial u} = \left[\frac{\partial p(u)}{\partial u} - \frac{\partial MRS(c(u),q(u))}{\partial c} \frac{1}{v_1}\right] \eta. $$