確定性等值和彩票
假設代理人有 $ u(z)=-e^{-bz} $ 在哪裡 $ b>0 $ 作為她的伯努利效用函式，面臨兩次賭博：
G1：有機率贏得 1000 美元[12Math Processing Error]機率為零[12Math Processing Error]他的確定性等值是 488 美元 G2：有機率贏得 1500 美元[12Math Processing Error]和 500 機率[12Math Processing Error] 問題是：關於他對 gamble2 的確定性等價物，我們能說些什麼？ 我該如何解決這個問題？ $ \frac{1}{2} $ $ \frac{1}{2} $
$ \frac{1}{2} $ $ \frac{1}{2} $
假設您的收入為[zMath Processing Error]並獲得額外的[xiMath Processing Error]有機率[πiMath Processing Error]. 那麼確定性等價[c1Math Processing Error]隱含定義為： $ z $ $ x_i $ $ \pi_i $ $ c_1 $
$$ \sum_i \pi_i u(z+x_i) = u(z+c) $$ 如果我們使用 CARA 效用函式，它會給出： [Math Processing Error]$$ \begin{align*} &\sum_i \pi_i (-\exp(-b(z + x_i))) = (-\exp(-b (z + c_1))\ \leftrightarrow &\sum_i \pi_i \exp(-b(z + x_i)) = \exp(-b (z + c_1) \tag{1} \end{align*} $$ 現在考慮每個州的彩票 $ i $ 您收到額外的金額 $ g $ 那麼確定性等價 $ c_2 $ 是（誰）給的： [Math Processing Error]$$ \begin{align*} &\sum_i \pi_i (-\exp(-b(z + g+ x_i))) = (-\exp(-b (z + c_2)),\ \leftrightarrow &\sum_i \pi_i \exp(-b(z + g+ x_i)) = \exp(-b (z + c_2) \end{align*} $$ 使用指數的性質並使用 $ (1) $ ，我們可以將其重寫為： [數學處理錯誤]$$ \begin{align*} &\exp(-bg) \sum_i \pi_i \exp(-b(z +x_i)) = \exp(-b (z + c_2),\ \leftrightarrow &\exp(-bg) \exp(-b(z + c_1) = \exp(-b(z + c_2)),\ \leftrightarrow & \exp(-b(g + z + c_1 - z - c_2) = 1,\ \leftrightarrow & \exp(-b(g + c_1 - c_2) = 1,\ \to & c_1 + g = c_2. \end{align*} $$ 這表明，如果彩票的平均值增加一個數量 $ g $ （通過向每個狀態添加相同的數量）然後確定性等價增加相同的數量。