CES生產函式ρ>1ρ>1rho>1
在使用 CES 生產函式的形式 $ f(x_1,x_2)=(x_1^\rho+x_2^\rho)^{1/\rho} $ ，我們總是假設 $ \rho\leq1 $ . 我們為什麼要做出這樣的假設？我明白如果 $ \rho>1 $ ，生產函式將不再是凹的（因此生產集也不會是凸的），但這對利潤和成本函式意味著什麼？
問題與 $ \rho>1 $ 是它意味著要素的邊際產量沒有減少（ $ \rho<1 $ ) 或常數 ( $ \rho=1 $ ) 但增加，這是一個奇怪的假設。這樣的函式產生的等量線是凹的，並且可能只使用一個因子（正如 BKay 所說）。
與任何通用 CES 一樣，要素的邊際產品 $ x_i $ 是
$$ MP_i = \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho} $$ 這個 MP 的導數關於 $ x_i $ 是，經過一些重新安排，
$$ (\rho-1) \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}\left(\frac{x_{-i}}{x_iy^{\rho}}\right) $$ 為了 $ \rho>1 $ ，這個表達式是正的，這意味著一個因素的生產力隨著使用更多的因素而增加。
關於等量線，您可以通過將生產函式重寫為 $ x_2=g(y,x_1) $ . 在通用 CES 中，這是
$$ x_2 = \left(y^{\rho} - x_1^{\rho}\right)^\frac{1}{\rho} $$ 這些是線性的 $ \rho=1 $ , 在 Cobb-Douglas 的情況下是凸的（上面的函式是 $ x_2=\frac{y}{x_1} $ , 誇張), 和凹的情況下 $ \rho>1 $ . 例如，選擇 $ \rho=2 $ 你有：
$$ x_2^2 = y^2 - x_1^2 $$ 這是一個圓心的公式 $ (0,0) $ , 有半徑 $ y $ . 通常，僅用於生產理論 $ x_i \geq 0 $ 很有趣，它為您提供了不同水平的凹等量線 $ y $ . 下圖顯示了一個範例，對於給定的要素價格比，存在一個角點解決方案（A 點）：
$ \hskip3cm $
（此處複製圖的程式碼）
