微觀經濟學
Cobb-Douglas 和對數效用函式
假設我有一個具有效用函式的消費者 $ U(x,y) = x^\alpha y ^{1-\alpha} $ 在哪裡 $ a \in (0,1) $ . 假設這個消費者有財富 $ w $ 和價格 $ x $ 和 $ y $ 是 $ p_x $ 和 $ p_y $ 分別。我已經設置了預算約束、計算需求和支出函式。
但現在我得到了另一個效用函式 $ \alpha \log x + (1-\alpha) \log y $ . 假設我可以為此計算需求函式，而無需進一步計算。我不明白怎麼做。對數的什麼性質在這裡有用？我顯然知道對數的定義，但我沒有在這種情況下看到它，並且很困惑我應該應用什麼樣的數學來找到需求函式。這只是算術嗎？是微積分嗎？解決這個問題有什麼意義？
效用函式對於正單調變換 (PMT) 是不變的。拿 $ U(x,y)=x^\alpha y^{1-\alpha} $ ， 然後讓 $ V(x,y)=\log(U(x,y)) $ 成為 PMT $ U $ . 因此 $ V $ 和 $ U $ 兩者代表相同的偏好，因此需求函式 $ x $ 和 $ y $ 是相同的。
如前所述，執行效用最大化的結果在以下意義上的單調變換下是不變的。讓需求 $ x^{}(p,w)=\arg\max_{x\in B(p,w)}u(x) $ ，與所有優化問題一樣 $ x^{}(p,w)=\arg\max_{x \in B(p,w)}V(u(x)) $ ，其中 V 是單調映射。請注意，價值函式是 $ u(x^{}(p,w))\neq V(u(x^{}(p,w))) $ 在這兩種情況下是不同的，但我們通常不關心這個對象，因為該實用程序只有序數資訊。