Cobb-Douglas 生產函式 - 尋找勞動單位以最大化生產
給定生產函式 $ f(L,K)=16L^\frac{1}{4}K^\frac{3}{4} $ ，其中每單位勞動力成本為 50 英鎊，每單位資本成本為 100 英鎊，而您的預算為 500,000 英鎊。找出使生產最大化的勞動單位數。
我們在數學課上被問到這個問題，所以我有點不確定我的解決方案，如下：
我們有 $ Y = 16L^\frac{1}{4}K^\frac{3}{4} + \lambda(500,000-50L-100K) $
$ \frac{\partial Y}{\partial L}=4L^\frac{-3}{4}K^\frac{3}{4}-50\lambda =0 $
$ \frac{\partial Y}{\partial K}=12L^\frac{1}{4}K^\frac{-1}{4}-100\lambda =0 $
$ \frac{\partial Y}{\partial \lambda}=500,000 - 50L - 100K =0 $
然後， $ \frac{(\frac{\partial Y}{\partial L})}{(\frac{\partial Y}{\partial K})} = \frac{4L^\frac{-3}{4}K^\frac{3}{4}}{12L^\frac{1}{4}K^\frac{-1}{4}} = \frac{50 \lambda}{100 \lambda} $
$ \implies \frac{K}{3L}=\frac{1}{2} \implies k = \frac{3}{2}L $
然後輸入 $ \frac{\partial y}{\partial \lambda}, 500,000 = 50L + 100(\frac{3}{2}L) = 200L $
$ \implies L = 2,500 $
因此，在 500,000 英鎊的預算下，2,500 單位的勞動力使生產最大化？
如果您的目標是最大化產量，那麼您的方法是正確的。
但是，如果目標是找到最優的勞動單位數量，那麼您應該將其作為具有預算約束的利潤最大化問題來解決。
那麼問題應該如下
使利潤最大化，使生產總成本不超過預算 $$ Max_{L,K}\ Profit(K,L)=P(16L^\frac{1}{4}K^\frac{3}{4}) - 50L - 100K $$ $$ st. 50L + 100K \le 500000 $$
那麼拉格朗日函式將是： $$ \mathcal{L}(K,L,\lambda) = (P(16L^\frac{1}{4}K^\frac{3}{4}) - 50L - 100K) + \lambda(500,000-50L-100K) $$
火：
$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L}=4PL^\frac{-3}{4}K^\frac{3}{4} - 50-50\lambda =0 $
$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K}=12PL^\frac{1}{4}K^\frac{-1}{4} - 100-100\lambda =0 $
$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=500,000 - 50L - 100K =0 $
求解 FOC 方程組將產生 $ L = 2500, K = 3750 $ 我使用 Wolfram 來獲得解決方案，但您可以使用您在問題中使用的方法來解決該問題。
沃爾夫拉姆程式碼：
Z = 拉姆達
Solve[{4P (L^(-3/4))(K^(3/4)) - 50 - 50Z==0, 12P (L^(1/4))(K^(-1/4)) - 100 - 100Z==0, 500000-50L-100K==0},{L,K,Z}]