具有支出而不是單位的 Cobb-Douglas 生產函式
我想估計形式的標準 Cobb-Douglas 生產函式
$ Y=AK^{\alpha}L^{\beta} $ . 但是，我只有勞動支出的數據，沒有勞動單位的數據。我沒有關於勞動力價格的數據 $ w $ 要麼，所以我不能從支出中剔除勞動單位。是否可以使用勞動支出而不是勞動單位來估計生產函式（在 GMM 回歸框架中）？
當然可以，只是您對分析中變數的解釋發生了變化。在這種情況下，您正在分析對不同生產要素的投資如何影響產出。
我建議您可能想要估計一個更靈活的函式形式，例如Translog 生產函式，以檢查您的函式是否是 CES，而不僅僅是一個簡單的 cobb-douglas。
如果價格不變，那麼數量與支出成正比。考慮 ：
$$ Y=AK^{\alpha}L^{\beta} = A(\frac{E_{K}}{r})^{\alpha}(\frac{E_{L}}{w})^{\beta} $$ $$ = (\frac{A}{r^\alpha w^\alpha})(E_{K})^{\alpha}(E_{L})^{\beta} $$ $$ = \tilde{A}(E_{K})^{\alpha}(E_{L})^{\beta} $$
如果價格變化不大，這可能是一個可以接受的近似值。但是，請注意這是一個對數加法函式： $$ \ln{Y_t} = y_t = a - \alpha \cdot r_t - \beta \cdot w_t + \alpha \cdot \ln (E_{K,t}) + \beta \cdot \ln (E_{L,t}) $$
如果您估計具有時間固定效應的回歸，它會吸收 $ a - \alpha \cdot r_t - \beta \cdot w_t $ 項和您的支出回歸給出相同的結果 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 好像你知道數量一樣。如果你想知道 $ \alpha $ 或者 $ \beta $ 這很好，但你不會辨識 $ a $ / $ A $ 這邊走。