比較統計：收入效應
這在很大程度上造成了問題。因此，如果您熟悉的話，最好從最底層開始，並在需要時進行改進。問題是關於收入和替代效應。
受約束的最大設置 $ U = U(x,y) = (x+2)(y+1) $ 和 $ U_x, U_y > 0 $ 並受預算約束： $ x P_x + y P_y = B $ .
比較靜態恆等式： $$ \begin{array}{r}B-x^{} P_{x}-y^{} P_{y} \equiv 0 \ U_{x}\left(x^{}, y^{}\right)-\lambda^{} P_{x} \equiv 0 \ U_{y}\left(x^{}, y^{}\right)-\lambda^{} P_{y} \equiv 0\end{array} $$ 我取總差， $$ \begin{aligned}-P_{x} d x^{}-P_{y} d y^{} &=x^{} d P_{x}+y^{} d P_{y}-d B \-P_{x} d \lambda^{}+U_{x x} d x^{}+U_{x y} d y^{} &=\lambda^{} d P_{x} \-P_{y} d \lambda^{}+U_{y x} d x^{}+U_{y y} d y^{} &=\quad \lambda^{} d P_{y} \end{aligned} $$ 然後為了效果 $ P_x $ ， 我們設置 $ dP_y = dB = 0 $ 和 $ dP_x \neq 0 $ 並將所有三個方程除以 $ dP_x $ . 根據克萊默的規則 $$ \left[\begin{array}{ccc}0 & -P_{x} & -P_{y} \ -P_{x} & U_{x x} & U_{x y} \ -P_{y} & U_{y x} & U_{y y}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\left(\partial \lambda^{} / \partial P_{x}\right) \ \left(\partial x^{} / \partial P_{x}\right) \ \left(\partial y^{} / \partial P_{x}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x^{} \ \lambda^{} \ 0\end{array}\right] $$ 我們得到 $$ \begin{aligned}\left(\frac{\partial x^{}}{\partial P_{x}}\right) &=\frac{1}{|J|}\left|\begin{array}{ccc}0 & x^{} & -P_{y} \ -P_{x} & \lambda^{} & U_{x y} \ -P_{y} & 0 & U_{y y}\end{array}\right| \ &=\frac{-x^{}}{|J|}\left|\begin{array}{ll}-P_{x} & U_{x y} \ -P_{y} & U_{y y}\end{array}\right|+\frac{\lambda^{}}{|J|}\left|\begin{array}{cc}0 & -P_{y} \ -P_{y} & U_{y y}\end{array}\right| \ & \equiv T_{1}+T_{2} \quad\left[T_{i} \text { means the } i \text { th term }\right] \end{aligned} $$ 首先它表明，通過設定因變化引起的有效收入損失 $ P_x $ 歸零：即我們設定的下面全微分的第一個方程 $ x^* dP_x = 0 $ ，我們補償收入效應，得到： $$ \left(\frac{\partial x^{}}{\partial P_{x}}\right){\text {compensated }}=\frac{1}{|J|}\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & -P{y} \ -P_{x} & \lambda^{} & U_{x y} \ -P_{y} & 0 & U_{y y}\end{array}\right|=\frac{\lambda^{}}{|J|}\left|\begin{array}{cc}0 & -P_{y} \ -P_{y} & U_{y y}\end{array}\right|=T_{2} $$ 並可以表示導數： $ \left(\frac{\partial x^{}}{\partial P_{x}}\right)=T_{1}+T_{2}=\underbrace{-\left(\frac{\partial x^{}}{\partial B}\right) x^{}}{\text {income effect }}+\underbrace{\left(\frac{\partial x^{*}}{\partial P{x}}\right){\text {compensated }}}{\text {substitution effect }} $
**課文題：*研究效果的時候 $ dP_x $ 單獨，第一個方程（總微分）簡化為 $ -P_{x} d x^{}-P_{y} d y^{}=x^{} d P_{x} $ ，當我們通過下降來補償消費者的有效收入損失時 $ x^{} d P_{x} $ , 方程變為 $ -P_{x} d x^{}-P_{y} d y^{}=0 $ . 證明最後的結果可以從我們保持消費者的最佳效用水平的補償過程中獲得 $ U^ $ （而不是實際收入）不變，因此 $ T_2 $ 可以解釋為 $ (\partial x^{} / \partial P_x)_{U^ = \text{constant}} $ [提示：利用 $ \frac{U_{x}}{U_{y}}=\frac{P_{x}}{P_{y}} $ ]
**文字答案：*最佳效用是 $ U^{}=U^{}\left(x^{}, y^{}\right) $ . 因此 $ d U^{}=U_{x} d x^{}+U_{y} d y^{} $ 在哪裡 $ U_x, U_y $ 評價為最優。什麼時候 $ U^ $ 常數，我們有 $ dU^ = 0 $ 或者 $ U_{x} d x^{}+U_{y} d y^{}=0 $ . 從上面的表達式 $ \left(\frac{\partial x^{}}{\partial P_{x}}\right) $ 我們有 $ \frac{U_{x}}{U_{y}}=\frac{P_{x}}{P_{y}} $ . 這樣我們就可以表達 $ d U^{}=0 $ 經過 $ P_{x} d x^{}+P_{y} d y^{}=0 $ ， 或者 $ -P_{x} d x^{}-P_{y} d y^{}=0 $
**問：**具體怎麼做 $ 0 =\boldsymbol{U}{x} d x^{*}+\boldsymbol{U}{y} d y^{} $ 變成 $ -P_{x} d x^{}-P_{y} d y^{*}=0 $ ?
取重新排列的第二個和第三個方程的比率
比較靜態恆等式： $$ \begin{array}{r}B-x^{} P_{x}-y^{} P_{y} \equiv 0 \ U_{x}\left(x^{}, y^{}\right)-\lambda^{} P_{x} \equiv 0 \ U_{y}\left(x^{}, y^{}\right)-\lambda^{} P_{y} \equiv 0\end{array} $$
我們得到 $$ \frac{U_{x}\left(x^{}, y^{}\right)}{U_{y}\left(x^{}, y^{}\right)} = \frac{P_x}{P_y}. \tag{MRS} $$ （這是微觀經濟學中一個非常著名的條件，LHS 是邊際替代率。）
乘法 $$ 0 = U_{x} d x^{}+U_{y} d y^{} $$ 經過 $$ -\frac{P_x}{U_x} $$ 我們得到 $$ 0 = -P_x d x^{} - \frac{P_x}{\frac{U_x}{U_y}} d y^{}. $$ 從上面的（MRS）方程得出 $$ P_y = \frac{P_x}{\frac{U_x}{U_y}}, $$ 因此 $$ 0 = -P_{x} d x^{}-P_{y} d y^{}. $$