壟斷的比較靜態
考慮一個具有線性需求 Q(P*) 和總生產成本 C(Q(P*)) 的利潤最大化壟斷者，他面臨每單位稅收 t。假設邊際成本的斜率在某個參數 μ 中減小。令 P* 表示壟斷者的利潤最大化價格選擇。仔細解釋您的方法並解釋您的結果，確定比較靜態：
∂²P*/∂μ∂t
我得到 P*= 價格 Q = Q(P*) t=t(Q(P*)) C=C(Q(P*))
πmax = P*(Q(P*))-C(Q(P*))-t(Q(P*))
dπ/dP* = Q’(P*)
$$ -C’(Q(P*))-t’(Q(P*))+P* $$+Q(P*)=0 dπ/dP* = μ + Q’(P*)$$ -t’(Q(P*))+P* $$+Q(P*) 平衡：PQ’(P)=t’(Q(P*))Q(P))-μ-Q(P*)
P* = t’(Q(P*))- μ/(Q’(P*)) - Q(P*)/Q’(P*)
這就是我要去的地方，當我解決比較靜態偏微分時，我得到的答案是 0，我不相信這是正確的，誰能幫我解決這個問題？謝謝！
如果 0 在某種程度上是正確的答案，那是什麼意思？
利潤函式由下式給出：
$$ \pi = PQ(P) - C(Q(P), \mu) - tQ(P) $$ 假設需求是線性的，s $$ p = \alpha - \beta Q \to Q = b(\alpha - P), $$ 在哪裡 $ b = 1/\beta $ . 所以： $$ Q_P = -b, $$ 我使用下標來表示偏導數。
利潤最大化的一階條件給出： $$ \begin{align*} &Q + P Q_P - C_Q Q_P - t Q_P = 0,\ \iff &Q - b P + b C_Q + bt = 0 \end{align*} $$ 然後將其區分為 $ t $ 給出： $$ \begin{align*} &(Q_P - b + b C_{QQ} Q_P)\frac{\partial P}{\partial t} + b = 0,\ \to &(-2b - b^2 C_{QQ})\frac{\partial P}{\partial t} = -b,\ \to &\frac{\partial P}{\partial t} = \frac{1}{2 + b C_{QQ}} \end{align*} $$ 對一階條件進行微分 $ \mu $ 給出： $$ (Q_P - b + b C_{QQ} Q_P)\frac{\partial P}{\partial \mu} + b C_{Q\mu} = 0,\ \to (-2b - b^2 C_{QQ})\frac{\partial P}{\partial \mu} = - b C_{Q\mu},\ \to \frac{\partial P}{\partial \mu} = \frac{C_{Q,\mu}}{2 + b C_{QQ}} $$
然后區分 $ \frac{\partial P}{\partial t} $ 再一次關於 $ \mu $ 給出： $$ \frac{\partial^2 P}{\partial t \partial \mu} = -\frac{1}{(2 + bC_{QQ})^2}b\left(C_{QQQ}Q_P \frac{\partial P}{\partial \mu}+ C_{QQ\mu}\right),\ = -\frac{1}{(2 + b C_{QQ})^2}b \left(-b C_{QQQ} \frac{C_{Q,\mu}}{2 + b C_{QQ}} + C_{QQ\mu} \right) $$ 最後一行使用表達式 for $ \frac{\partial P}{\partial \mu} $ 從上面。
現在假設成本採用以下形式： $$ C(Q, \mu) = \delta + \eta Q + \frac{\gamma(\mu), Q^2}{2} $$ 所以邊際成本的斜率取決於 $ \mu $ . 然後 $ C_{QQ} = \gamma(\mu) $ , $ C_{QQQ} = 0 $ 和 $ C_{QQ\mu} = \gamma_\mu $ ， 所以： $$ \frac{\partial^2 P}{\partial t \partial \mu} = -\frac{b \gamma_\mu}{(2 + b \gamma)^2}. $$ 我們有那個 $ \gamma_\mu < 0 $ 通過假設（斜率在 $ \mu $ ) 然後我們看到 $ \frac{\partial^2 P}{\partial t \partial \mu} $ 是積極的（至少如果我沒有犯任何錯誤的話）。