比較稅收 Cobb-Douglass 等
讓消費者的效用函式定義為 $ u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{1/2} x_{2}^{1/2} $ . 有了預算 $ x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}=m $ . 有價值觀 $ p_1=p_2=1, m=32 $ . 國家現在對第 3 單元加徵稅 $ p_{1} $ （公關單位 $ x_1 $ )
它如何影響效用？國家賺什麼？
- 我在 16 歲之前和 8 歲之後得到了實用程序，稅收與 12 公關單位相關 $ x_1 $
國家現在考慮徵收所得稅，因此收入現在是 $ m-T $ 在保持消費者冷漠的同時，國家將通過新系統賺取多少？哪個系統更好？
- 我認為我在最優需求條件下求解效用函式中的稅，使我保持效用等於 8。這給了我 16 個單位的所得稅。
一個人如何在數學上完成最後一部分。我認為所得稅對消費者更有利，但我怎樣才能在數學上顯示呢？
你的直覺是正確的。從數學上講，您可以通過首先得出一次性所得稅的最佳選擇來證明這一點。因此，您將設置以下拉格朗日：
$$ \mathcal{L} = x^{1/2}_1 x^{1/2}_2 - \lambda [x_1p_1+x_2p_2 - m + T] $$
這為您提供了 3 個 FOC 的預算約束和：
$$ 0.5x_1^{-0.5} x_2^{0.5} = \lambda p_1 \ 0.5x_2^{-0.5} x_2^{0.5} = \lambda p_2 $$
求解最優 $ x_1^* $ 和 $ x_2^* $ :
$$ x_1^* = \frac{m-T}{2p_1} = \frac{32-T}{2} \ x_2^* = \frac{m-T}{2p_2} = \frac{32-T}{2} $$
這裡的第二個等式利用了以下假設： $ p_1 = p_2=1 $ 和 $ m=32 $ .
現在您可以將其插入效用函式並假設您沒有錯誤地將其等同於效用與消費稅 $ p_1 $ 所以你將擁有：
$$ 8 = \left( \frac{32-T}{2}\right)^{0.5} \left( \frac{32-T}{2}\right)^{0.5} \ T =16 $$
所以在所得稅制度下，政府得到 $ T=16> t=12 $ 而消費者仍然具有與消費稅相同的效用，這意味著所得稅更好。對此的直覺是，所得稅不會扭曲相對價格，僅具有收入效應，而消費稅具有收入和替代效應。