具有消費者和生產者的經濟的競爭均衡
代表代理人對消費的偏好 $ (c) $ 和勞動力供應 $ (l) $ 由效用函式給出$$ u(c_D, l_S)= c_D^a .(24-l_S)^{1-a} $$ 消費品的生產 $ c $ 由生產函式給出 $ c = Al $ ， 在哪裡 $ A > 0 $ 是勞動生產率。商品市場和勞動力市場都是完全競爭的：買者和賣者在接受供求決策的同時將價格視為既定。讓我們將小時工資率表示為 $ w > 0 $ 和消費好價格 $ p > 0 $ 問題是關於競爭均衡，所以我發現效用最大化 $ c_D =\frac {24aw}{p} ,_\ l_S= 24a $
我只是對利潤最大化感到困惑 $ l_D,c_S $ . 它的出現是 $ A= _\frac{w}{p} $ 並在進一步解決後出現 $ c_S = _\frac {w}{p} l_D $ 我認為這是錯誤的。
有人可以告訴我我做錯了什麼嗎？謝謝你。
這是消費者的效用最大化問題： $$ \begin{eqnarray*}\max_{c_D, l_S} & \ c_D^a(24-l_S)^{1-a} \ \text{s.t.} & \ pc_D = wl_S \ \text{and} & \ c_D\geq 0 , 0\leq l_S\leq 24\end{eqnarray*} $$ 解決這個問題，我們得到 $ c_D = \dfrac{24aw}{p} $ 和 $ l_S = 24a $ .
現在我們可以解決企業的利潤最大化問題： $$ \begin{eqnarray*}\max_{c_S, l_D} & \ pc_S - wl_D \ \text{s.t.} & \ c_S = Al_D \ \text{and} & \ c_S\geq 0 , l_D\geq 0\end{eqnarray*} $$
解決這個問題，我們得到 $$ \begin{eqnarray*} c_S \in \begin{cases} \emptyset & \text{if } p > \dfrac{w}{A} \ \mathbb{R}_+ & \text{if } p = \dfrac{w}{A} \ {0} & \text{if } p < \dfrac{w}{A}\end{cases} \end{eqnarray*} $$ 和相應的 $ l_D = \dfrac{c_S}{A} $ .
為了找到競爭均衡，我們可以取其中一個市場，比如 $ c $ , 並繼續求解 $ c_S = c_D $ 我們將得到競爭均衡價格比率： $ p =\dfrac{w}{A} $ ，或等效地， $ \dfrac{w}{p} = A $ . 對應的值 $ c $ 均衡消耗的是 $ 24Aa $ 和僱用的勞動力相等 $ 24a $ .