凹效用函式解範例
在下面的文章中，給出了一個凹效用函式的角解的範例。我嘗試解決它但卡住了。我不知道這些類型的問題是如何解決的，所以如果你能指出我正確的方向。
到目前為止，這是我的工作：
$ U(x_1, x_2)=x_1+\ln(x_2) $
英石
$ x_1p_1+x_2p_2\leq w $
$ x_1\geq0;; x_2\geq0 $
$$ \begin{alignat*}{3} % #1 L(x_1, x_2,x_3,&\lambda,\mu_1,\mu_2)=x_1+\ln(x_2) +\ +&\lambda[w-(x_1p_1+x_2p_2)]+\mu_1x_1+\mu_2x_2 \end{alignat*} $$
$ \frac{\partial L}{\partial x_1}=1-\lambda p_1+\mu_1 \leq 0 $
$ \frac{\partial L}{\partial x_2}=\frac{1}{x_2}-\lambda p_2+\mu_2 \leq 0 $
$ \frac{\partial L}{\partial \lambda}=w-(x_1p_1+x_2p_2) \leq 0 $
$ \frac{\partial L}{\partial \mu_1}=x_1 \leq 0 $
$ \frac{\partial L}{\partial \mu_2}=x_2 \leq 0 $
假設頂部約束具有約束力。我們可以說：
$ \lambda = \frac{1+\mu_1}{p_1} $
$ \lambda = \frac{\frac{1}{x_2}+\mu_2}{p_2} $
$ \frac{p_2(1+\mu_1)}{p_1}=\frac{1}{x_2}+\mu_2 $
$ \frac{p_2+p_2\mu_1-\mu_2p_1}{p_1}=\frac{1}{x_2} $
$ x_2=\frac{p_1}{p_2+p_2\mu_1-\mu_2p_1} $
將其放入預算約束中，我得到：
$ x_1p_1+\frac{p_1p_2}{p_2+p_2\mu_1-\mu_2p_1}=w $
$ x_1=\frac{w}{p_1}-\frac{p_2}{p_2+p_2\mu_1-\mu_2p_1} $
$ x_2=\frac{p_1}{p_2+p_2\mu_1-\mu_2p_1} $
什麼時候 $ p_2\mu_1-\mu_2p_1 $ 等於 0 我得到了解決方案 $ w>p_1 $ ，但我不知道他們是如何獲得下半場的。所以這就是我卡住的地方。非常感謝數學專家。
這是我們要解決的問題：
$$ \begin{eqnarray*} \max_{x_1, x_2} & x_1 +\ln x_2 \ \text{s.t.} & \ p_1 x_1 + p_2x_2 \leq w \ \text{and} & \ x_1\geq 0, x_2>0 \end{eqnarray*} $$
這裡 $ w>0 $ , $ p_1>0 $ 和 $ p_2>0 $ .
首先設置拉格朗日函式：
$ \mathcal{L}(x_1, x_2)= x_1 +\ln x_2 - \lambda(p_1 x_1 + p_2x_2 - w) + \mu_1x_1 $
一階必要條件是：
$ \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_1} = 1 - \lambda p_1 + \mu_1 = 0 $
$ \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_2} = \dfrac{1}{x_2} - \lambda p_2 = 0 $
$ p_1 x_1 + p_2x_2 \leq w, \ \lambda \geq 0, \ \lambda(p_1 x_1 + p_2x_2 - w) = 0 $
$ x_1 \geq 0, \ \mu_1 \geq 0, \ \mu_1x_1 = 0 $
$ x_2>0 $
自從 $ \mathcal{L} $ 是凹的，如果 $ (x_1^d, x_2^d) $ 滿足一階條件，也是效用最大化問題的解。
解決上述系統，我們得到最優值 $ x_1^d $ , $ x_2^d $ 作為：
$$ \begin{eqnarray*} (x_1^d, x_2^d)(p_1, p_2, w)=\begin{cases} \left(\frac{w-p_1}{p_1},\frac{p_1}{p_2}\right) & \text{if } p_1 \leq w \ \left(0,\frac{w}{p_2}\right) & \text{if } p_1 > w \end{cases} \end{eqnarray*} $$
稍後添加
這就是我們可以解決以下系統的方法：
$ \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_1} = 1 - \lambda p_1 + \mu_1 = 0 $
$ \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_2} = \dfrac{1}{x_2} - \lambda p_2 = 0 $
$ p_1 x_1 + p_2x_2 \leq w, \ \lambda \geq 0, \ \lambda(p_1 x_1 + p_2x_2 - w) = 0 $
$ x_1 \geq 0, \ \mu_1 \geq 0, \ \mu_1x_1 = 0 $
$ x_2>0 $
基於上述系統，我們可以將其分為以下幾種可能的解決方案：
- $ p_1 x_1 + p_2x_2 < w $ 這意味著 $ \lambda = 0 $ , 但這意味著 $ \mu_1=-1 $ 這與系統不一致。因此，上述系統沒有解決方案 $ p_1 x_1 + p_2x_2 < w $ .
- $ p_1 x_1 + p_2x_2 = w $ 在這種情況下，有兩種可能： $ x_1>0 $ 另一個是 $ x_1=0 $ . 兩者都是可能的，具體取決於 $ p_1 $ , $ p_2 $ 和 $ w $ :
對於的情況 $ x_1>0 $ ，我們得到 $ \mu_1=0 $ ，這意味著 $ \lambda=\frac{1}{p_1} $ . 所以， $ x_2=\frac{p_1}{p_2} $ 和相應的值 $ x_1= \frac{w-p_1}{p_1} $ . 顯然，這是上述系統的唯一解決方案，當 $ p_1< w $ .
對於的情況 $ x_1=0 $ , $ x_2= \frac{w}{p_2} $ 和相應的值 $ \lambda=\frac{1}{w} $ 因此， $ \mu_1 = \frac{p_1-w}{p_1} $ . 顯然，這是上述系統的唯一解決方案，當 $ p_1 \geq w $ .
看看如何解決類似的問題 $ u(x, y) = 2\sqrt{x} + y $ ，您可以參考：https ://youtu.be/l8vHgCv70h0
相關文章（尋找需求的替代方法 $ u(x, y) = 2\sqrt{x} + y $ ): https://qr.ae/pGJuvH