使用拉格朗日方法的條件
我看到價格和 $ \text{MU}_{i} $ 被假定為正數（或者，偏好單調）。當使用拉格朗日方法解決效用最大化問題時，總是會提到這一點。這有什麼原因嗎？如果 $ \lambda $ 存在，不考慮所有這些條件，我們不只是得到一個解決方案嗎？
價格
價格可以被假定為正，因為它們通常是正的。可能有一些罕見的例子，例如2020年 4 月 20 日的油價期貨 。儘管如此，這樣的例子還是非常少見的。
然而，明確假設價格為正並不常見。例如，《瓦里安微觀經濟分析》第 3 版沒有假設許多消費者問題（例如，見第 9 章）。
一些文本也喜歡明確地使價格為非負值，但它並不普遍。
邊際效用
這是因為典型的微觀經濟問題假設消費者“越多越好”（這意味著不滿足）。
如果您假設越多越好，您需要假設 $ U’>0 $ .
如果您選擇一些實用功能 $ U’<0 $ 將被違反，因為這意味著在某些時候消費者消費太多以至於她或他不想消費更多。
如果 λ 存在，不考慮所有這些條件，我們就不會得到一個解決方案嗎？
優化問題需要滿足更多的條件才能獲得解決方案，例如函式是可微的等。但是，上述假設本身並沒有太多解決方案的存在（儘管取決於確切的問題它們可能是必要的）。相反，如果可以合理地減少可能解決方案的數量，您可能希望對問題施加一些限制。
例如，如果價格很少為負，則考慮價格為負的潛在解決方案可能沒有意義。
同樣，雖然在某些情況下，人類越多並不總是越好（例如食物消費），但如果我們看一些複合商品或種類繁多的商品，假設越多總是越好並不是沒有道理的。世界上可能很少有人不想增加某種東西的消費。有些人可能更喜歡旅行，在一些不錯的度假勝地度過更多的時間，旅行更舒適，接受更好的教育，更多的醫療保健等等。大多數人會喜歡更多而不是更少，除了一些例外（例如佛教僧侶？）。
因此，假設 $ U’>0 $ 在您可能不想假設更多總是更好的一些專業問題之外是合理的假設。你可能看不到這樣的問題，因為本科或中級書籍甚至許多研究生書籍並不總是涵蓋這些更專業的案例，但它們確實存在。因此，可以找到不假定邊際效用始終為正的問題，它們只是非常罕見。
拉格朗日存在的條件
以下是拉格朗日乘數存在的條件（遵循 Sydsaeter 等人的《經濟分析的進一步數學》第 153-154 頁）：
給定一個問題：
$$ \max f(x) \text{s.t.} \begin{cases} \displaystyle g_j(\mathbf{x}) =0, j=1,…,r \ \displaystyle h_k(\mathbf{x}) \leq 0, j=1,…,s \end{cases} $$
拉格朗日乘數將存在（因此您可以應用拉格朗日）如果 $ f,g,h $ 都是 $ C^1 $ 在一些開放的集合中 $ A $ 在 $ \mathbb{R} $ ，並假設 $ \mathbf{x^*} $ 是上述問題中 A 上的一個局部極值點。那麼存在數 $ \alpha, \lambda_1,…,\lambda_r, \mu_1,…,\mu_s $ 不全為 0，例如：
- $ \alpha \geq 0 $
- $ \alpha \nabla f(\mathbf{x^}) = \sum \lambda_j \nabla g_j (\mathbf{x^}) + \sum \mu_k \nabla h_k (\mathbf{x^*}) $
- 對於每個 $ k=1,…,s $ 一個有 $ \mu_k \geq 0 $ ， 和 $ \mu_k=0 $ 如果 $ h_k(\mathbf{x^*})<0 $
所以拉格朗日乘數的存在不需要目標函式嚴格遞增，也不需要約束的所有參數 $ g $ 和 $ h $ 為非負數。
當談到解決方案的存在時，拉格朗日乘數將有解決方案（參見 Sydsaeter et al pp 146） $ \mathbf{x^} = (x_1^,…,x_n^) $ 如果 $ f, g $ 和 $ h $ 是 $ C^1 $ 職能， $ r<n $ ，標準的 Khun-Tucker 條件成立並且滿足常數限定（梯度向量 $ \nabla g_j (\mathbf{x^}, 1\leq j \leq m $ 對應於那些在 $ \mathbf{x}^* $ 是線性獨立的，並且滿足上述乘數存在的要求，那麼就會有一些唯一數 $ \mathbf{\lambda}, \mathbf{\mu} $ 這樣：
- $ \alpha \nabla f(\mathbf{x^}) = \sum \lambda_j \nabla g_j (\mathbf{x^}) + \sum \mu_k \nabla h_k (\mathbf{x^*}) $
- $ \mu_k \geq 0 $ 和 $ \mu_k = 0 $ 如果 $ h_k(\mathbf{x^*})<c_k, k =1,…,R $
如果拉格朗日是凹的 $ \mathbf{x} $ 並且有可接受的 $ \mathbf{x^} $ 滿足上述條件，則 $ \mathbf{x^} $ 解決了最大化問題。
請注意，上述條件都不需要 $ h $ 或者 $ g $ 積極或 $ f’_i $ 處處是嚴格非負的（當然函式需要在某個局部最大值附近是凹的，除非有角解，但是沒有理由讓它處處都是非負的。