約束優化以找到效用最大化分配
我試圖找到商品 X 和 Y 的分配，以便最大化兩個消費者之間的效用。
兩個效用函式是： $$ U1 = xy^5 $$ $$ U2 = 10xy $$
好 X 有 8 個，好 Y 有 8 個。
直覺地說，根據社會福利函式，消費者 1 的效用最大化分配將是 (8,8)，消費者 2 的效用最大化分配將是 (0,0) $$ U = xy^5 + 10(8-x)(8-y) $$ 但是，我試圖在數學上證明這一點，這就是我到目前為止所做的： $$ dU/dx = y^5 -10(8-y)=0 $$ $$ dU/dy = 5xy^4 -10(8-x)=0 $$ 這就是我覺得卡住的地方，因為解決一階條件給了我 $$ y^5 = 10(8-y) $$ Y 在這裡不能等於 8，因為這樣就沒有意義了……我哪裡錯了？
我認為您正在嘗試找到一個可行的分配，以最大化兩個人的效用之和。所以我們可以把目標函式寫成：
$$ \begin{eqnarray*} \max_{x,y} & \ xy^5 + 10 (8-x)(8-y) \ \text{s.t.} & \ 0\leq x \leq 8, 0 \leq y \leq 8\end{eqnarray*} $$ 我們可以通過以下方式設置拉格朗日： $$ \begin{eqnarray*} \mathcal{L}(x, y) = xy^5 + 10 (8-x)(8-y) + \mu_xx + \mu_yy - \lambda_x(x-8) - \lambda_y(y-8)\end{eqnarray*} $$ KT FONC 是
$$ \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial x} = y^5 - 10(8-y)+\mu_x-\lambda_x = 0 \ \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial y} = 5xy^4 - 10(8-x)+\mu_y-\lambda_y = 0 \ x\geq 0, \ \mu_x \geq 0, \ \mu_xx = 0 \ y\geq 0, \ \mu_y \geq 0, \ \mu_yy = 0 \ x\leq 8, \ \lambda_x \geq 0, \ \lambda_x(x-8) = 0 \ y\leq 8, \ \lambda_y \geq 0, \ \lambda_y(y-8) = 0 \end{eqnarray*} $$
上述一組 KT FONC 的解決方案之一是 $ (x, y) = (8,8) $ 和相應的 $ (\mu_x, \mu_y, \lambda_x, \lambda_y) = (0,0,8^5, 5(8^5)) $ ，這也是上述優化問題的解。