具有多個約束的約束優化：多個嚴格正的乘數是否意味著頂點處的解決方案？
這可能是一個有點愚蠢的問題，但我有興趣解決具有許多限制的標準經濟問題，並且想知道是否有任何捷徑。
作為前言，假設我們有以下通用效用最大化問題 $ k $ 許多具有相等性的約束。
$$ \max U(x_1,…,x_n) $$ 受制於 $$ m_1\geq\sum_{i=1}^nr_i^1 x_i \tag{1} $$ $$ … $$ $$ m_k\ge\sum_{i=1}^n r_i^k x_i \tag{k} $$
解決這類問題的傳統方法是確定可能的最優值，一次考慮一個約束，然後查看它是否違反任何約束。然而，可能存在一個角落解決方案，在這種情況下，我們將在我們的約束集定義的可行集上尋找頂點處的值。
這是一個乏味的問題，但是我想知道是否僅查看與這些約束中的每一個相關聯的拉格朗日乘數的值（檢查多個是否為正）來推斷我們的可行區域上的頂點是否確實是最佳的。
簡而言之，如果我確定一個說兩個乘數的情況 $ \lambda_i $ 和 $ \lambda_j $ 是嚴格肯定的，這是否意味著最優值在這個問題的頂點？
如果通過 $ \lambda_i $ 你的意思是屬於約束的乘數（ $ i $ ）， 然後 $ \lambda_i $ 和 $ \lambda_j $ 積極確實意味著這些約束是積極的/有效的/實現為平等。
現在我不太清楚你所說的“角落解決方案”是什麼意思。約束（ $ 1 $ ),( $ 2 $ ),…,( $ k $ ) 通常定義一個多面體 $ \mathbb{R}^n $ ， 在哪裡 $ (x_1,x_2,\dots,x_n) $ 是這樣的，所有的約束都得到滿足，所以這個多面體是可行解的集合/區域。如果一個解在這個集合的內部，它肯定不是一個角落的解；否則我不確定。例如，立方體邊緣（但不在任何角/頂點）的解決方案是角解決方案嗎？或者你的意思是至少一個 $ x_i $ 是零？
如果小於那麼 $ n $ 乘數是正數，那麼您的解決方案很可能不在多面體的一個頂點上，而只是在它的一個面上。
例如，考慮 $$ U(x_1,x_2,x_3) = x_1x_2x_3, $$ 並且約束是 $$ 9 \geq 2x_1 + x_2 + x_3 \tag{1} $$ $$ 9 \geq x_1 + 2x_2 + x_3 \tag{2} $$ 和通常的非負約束。
這種情況下的最優解是 $ (x_1, x_2, x_3) = (2,2,3) $ ，乘數是 $ \lambda_1 = \lambda_2 = 2 > 0 $ . 最優解不是可行域的頂點，而是可行解的凸組合 $ (3,3,0) $ 和 $ (0,0,9) $ . （這兩個解是頂點。）