需求受限的消費者行為
假設有一個線性需求函式 $ D(p) $ 描述個人消費者的需求。這是從效用函式或只是觀察到的，但讓我們假設它是正確的。現在假設該產品以價格出售 $ p $ ，但商店堅持每個消費者購買的最低數量實際上大於 $ D(p) $ ，但只有很少。
說是 $ D(p) + \epsilon $ ， 在哪裡 $ \epsilon < D(p)/100 $ .
考慮到購買數量的選擇，我可以說沒有額外的假設嗎 $ q $ 在哪裡 $ q \in \left{0\right} \bigcup \left[D(p) + \epsilon,\infty\right) $ , 消費者會選擇購買 $ D(p) + \epsilon $ ?
我的論點是，考慮到以下約束，這將使她的消費者剩餘最大化 $ q $ . 正如我指定的，這是一個線性需求函式，並且 $ \epsilon < D(p)/100 $ 你可以做數學，但很容易看出，對於任何連續需求函式，如果足夠小，盈餘都是正的 $ \epsilon $ .
這是公認的論點嗎？
在大多數模型中，消費者尋求最大化他們的效用是公認的。但是，我不確定是否有人可以爭論沒有效用函式，即剩餘最大化是目標。
一種解決方法是指定一個準線性效用函式支持 $ D(p) $ 但如果可能的話，我想避免這種情況。
在二品空間中，最初消費者最大化 $ U(x,z);; s.t. ;;p_xx+p_zz =I $ 我們假設它得到了解決方案 $ (x^, z^) $ 作為價格和收入的函式。
在受約束的情況下，消費者要麼選擇 $ (0, \tilde z) $ 或者 $ (x^*+\epsilon, z’ $ ）， 對於一些 $ \epsilon >0 $ 總是用盡預算，特別是， $ \tilde z = I/p_z $ . 為了讓消費者仍然選擇購買嚴格正數量的 $ x $ , 一定是這樣的
$$ U(x^+\epsilon, z’) > U(0, \tilde z) $$ 應用一階近似值 $ (x^, z^*) $ 在不忽略餘數的情況下，我們想要
$$ \begin{align} U(x^, z^) + U_x(x^)\cdot \epsilon + U_z(z^)(z’-z^) + R_{\epsilon} &\> U(x^, z^) + U_x(x^)(-x^) + U_z(z^)(\tilde z-z^*) + R_0 \end{align} $$ 簡化和重新排列，我們想要
$$ U_x(x^)(x^+\epsilon) + R_{\epsilon} > U_z(z^)(\tilde z-z’) + R_0 $$ 我們知道，從無約束優化， $ U_x(x^)/U_z(z^*) = p_x/p_z $ 所以
$$ \frac {p_x}{p_z}(x^+\epsilon) + \frac {R_{\epsilon}}{U_z(z^)} > \left(\frac{I}{p_z}-z’\right) + \frac {R_0}{U_z(z^*)} $$ 乘以 $ p_z $ ,
$$ p_x(x^+\epsilon) + p_z\frac {R_{\epsilon}}{U_z(z^)} > I - p_zz’ + p_z\frac {R_0}{U_z(z^)} $$ 但 $ p_x(x^+\epsilon) + p_zz’ = I \implies p_x(x^*+\epsilon) = I-p_zz’ $ 所以我們剩下的要求是（忽略積極的條款）
$$ R_{\epsilon} > R_0 $$ 為了讓消費者選擇 $ x^*+ \epsilon $ 並不是 $ 0 $ 為了 $ x $ .
請注意，上面還考慮了余數的符號，而不僅僅是它們的絕對大小。
現在讓我們回到我們的一階展開。我們知道，兩個候選捆綁包的效用低於 $ U(x^, z^) $ ，因為它們在不受約束的情況下是可行的，並且沒有被選中。
看著擴張 $ U(0, \tilde z) $ 然後我們得出結論，我們有
$$ U_x(x^)(-x^) + U_z(z^)(\tilde z-z^) + R_0 < 0 $$ $$ \implies U_z(z^)\cdot \Big[(U_x(x^)/U_z(z^))\cdot(-x^) + \tilde z-z^\Big] + R_0 < 0 $$ $$ \implies \frac {U_z(z^)}{p_z}\cdot \Big[-p_xx^* + p_z\tilde z-p_zz^\Big] + R_0 < 0 $$ 但 $ -p_xx^ -p_zz^* = -I $ 和 $ p_z\tilde z =I $ 所以括號中的項為零。因此我們得出結論
$$ R_0 <0 $$ 現在看 展開 $ U(x^*+\epsilon, z’) $ ，我們知道我們有
$$ U_x(x^)\cdot \epsilon + U_z(z^)(z’-z^*) + R_{\epsilon} < 0 $$ 執行與之前相同的操作，我們在這裡也得到了
$$ R_{\epsilon} < 0 $$ 所以有條件買 $ x^*+\epsilon $ 可以重寫為
$$ |R_{\epsilon}| < |R_0| $$ 這有點形式化了這樣一個概念，即如果 $ \epsilon $ 是“足夠小”， $ R_{\epsilon} $ 絕對值會小於 $ R_0 $ ，因為對相同函式的逼近會“更好”，所以我們將觀察 $ x^*+\epsilon $ 並不是 $ 0 $ . 但它也告訴我們另一個答案中的圖表也告訴我們，這個問題沒有一個通用的答案。