消費者剩餘定義
瓦里安以價格定義消費者剩餘 $ p = p_0 $ 作為 $ \displaystyle CS(p_0) = \int_{p_0}^{p_\max} q(p) \ dp $ 在哪裡 $ p_\max $ 存在並且 $ q(p_\max) = 0 $ .
我通常使用的另一個定義是 $ \displaystyle CS(p_0) = \int_{0}^{q_0} [p(q) - p_0] \ dq $ .
兩個定義一樣嗎？我試圖將它們等同起來，但我無法證明它們是平等的。第二個定義不正確嗎？
是的，它們是相同的定義。從圖形上看，不同的積分計算剛剛旋轉 90 度的相同區域。無論旋轉如何，幾何形狀都具有相同的面積。
一般證明：
假設我們在笛卡爾座標系的 I 象限中有一個稱為 CS的固定大小區域，由 $ p(q) $ 和 $ p= p_0 $ . 該區域的面積將由下式給出：
$$ \text{ CS} = \lim_{n \to \infty} \sum [p(q_i)- p_0] \Delta q, \text{with } \quad \Delta q = \frac{q_0-0}{n} $$
取極限我們得到：
$$ \text{CS} = \int_{0}^{q_0} [p(q) - p_0] \ dq $$
現在積分相同的固定區域 CS 由 $ p(q) $ 和 $ p_0 $ 經過 $ y $ 軸。
由於 CS 有界 $ p(q) $ 和 $ p_0 $ 上 $ y $ 我們在區間內積分的軸 $ [p_{max},p_0] $ 過反函式 $ p(q)^{-1} $ IE $ q=p(q) $ （我們不包括 $ p_0 $ 因為它是常數函式，因此邊界 $ y $ 軸）。因此，在 $ y $ 軸的固定區域 $ CS $ 定義為：
$$ \text{CS}= \lim_{n \to \infty} \sum q(p_i)\Delta p, \text{with} \quad \Delta p = \frac{p_{max}-p_0}{n} $$
取我們得到的限制：
$$ \text{CS}= \int_{p_0}^{p_{max}}q(p)dp $$
既然我們在談論 $ CS $ 大小相同：
$$ \int_{0}^{q_0} [p(q) - p_0] \ dq = \text{CS} = \int_{p_0}^{p_{max}}q(p)dp $$
因此我們證明了：
$$ \int_{0}^{q_0} [p(q) - p_0] \ dq = \int_{p_0}^{p_{max}}q(p)dp $$
例子：
您可以通過嘗試各種需求函式來看到這一點。假設我們的需求由 $ Q=100-p $ , 均衡價格由下式給出 $ p=10 $ .
瓦里安：
$$ CS(10)= \int_{10}^{100}(100-p)dp= 100(100) -\frac{1}{2}(100)^2-100(10) -\frac{1}{2}(10)^2=4050 $$
非瓦里安：
我們首先必須解決由下式給出的逆需求： $ p=100-q $ （回想一下，固定 $p=10 \暗示 q^*=90）。
$$ CS(10)= \int_{0}^{90}[(100-q)-10]dp= 4050 $$
這適用於任何任意函式，因為消費者剩餘在圖形上是一個幾何對象，並且各自的積分只是計算該對象面積的不同方法，具體取決於您如何使用對象旋轉平面。
更一般地說，瓦里安方法正在做的事情被稱為沿 y 軸積分。