期望效用理論中的連續性公理
採用以下連續性定義。
偏好關係 $ \succsim $ 在彩票的空間 $ \mathcal L $ 如果有的話是連續的 $ L,L’,L’’\in\mathcal L $ , 集合
$$ S_1={\alpha\in[0,1]:\alpha L+(1-\alpha)L’\succsim L’’} $$和 $$ S_2={\alpha\in[0,1]:L’’\succsim \alpha L+(1-\alpha)L’} $$都關閉了。
是否一定是真的 $ S_1\cup S_2=[0,1] $ ? 如果是這樣，為什麼？
這是。在作為偏好關係的屬性
的 連續性之前，偏好關係 $ \succsim $ 本身已被定義為以傳遞性為特徵的二元關係，並且首先以完整性為特徵。那麼如果 $ S_1\cup S_2 \neq [0,1] $ ，這意味著存在一些值 $ \alpha $ 在某處 $ [0,1] $ ， 給他們打電話 $ \tilde \alpha $ 為此
兩者都不
$$ {\tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L’\succsim L’’} $$ 也不
$$ {L’’\succsim \tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L’} $$ 一句話，對於這些 $ \tilde \alpha $ 的，這對根本無法訂購。但這與甚至獲得偏好關係所需的完整性基礎相矛盾（正如我們的理論中所使用的那樣。我想心理學家會不同意）。
另外，請注意，完整性是在所有可能的配對上定義的，即使在特定情況下，我們選擇將彩票空間限制在更小的範圍內。正在考慮的彩票是否屬於指定的彩票空間，真的無關緊要。有偏好的人必須能夠在任何情況下訂購它們，即使作為“假設”場景（儘管嚴格來說，對於特定問題，我們有“奢侈品”僅在可用彩票方面強加完整性，而“如果我們擴大彩票空間，就完整性而言保持不可知論者。仍然這種對完整性公理的“削弱”，並沒有真正帶來任何收益）。