連續理性和單調偏好關係意味著x≿0X≿0xsuccsim0?
我將我的證明更新為一般版本如下：請分享您的想法和 2cent。謝謝
顯示單調連續完整預購 $ \mathbb{R^L_+} $ 擁有 $ y\geq x\rightarrow y\succsim x $ .
澄清點
$ X=\mathbb{R^L_+} $
預序意味著通常的自反性和及物性。
任何的完整手段 $ x,y\in X $ ， 有 $ x\succsim y $ 或者 $ y\succsim x $
連續意味著關係在限制下保持不變。
單調意味著任何 $ x,y\in X $ ， 如果 $ y\gg x $ ， 然後 $ y\succ x $ .
$ \succ $ 和 $ \sim $ 分別是的不對稱和對稱部分 $ \succsim $
證明大綱
通過兩個案例：（1） $ y\gg x $ . 通過定義輕鬆獲得結果。(2) 某些分量相等，而其他 y 嚴格大於 x。在添加一系列小的正數時使用連續性 $ \epsilon $ 到 y，使它成為一個序列 $ y^n_\epsilon $ 其中對於每個 n， $ y^n_\epsilon\gg x $ $ \forall n $ .
證明
假設 $ \succsim $ 是一個單調的、連續的、完全的預序 $ X=\mathbb{R^L_L} $ .
情況1） $ y\gg x $ （IE $ y_i>x_i $ $ \forall i\in B={1,\dots,L} $ ）。
根據定義， $ y\succ x $ ，這意味著 $ y\succsim x $ .
案例（2） $ y_j=x_j $ 對於一些 $ j\in B $ . 為了 $ \forall k\not=j,k\in B, y_k>x_k. $
對於一些 $ \epsilon>0 $ , 讓序列 $ \epsilon^n\in\mathbb{R^L_+} $ 這樣 $ \epsilon_j=\epsilon $ , $ \epsilon_k=0 $ .
表示序列 $ y^n_\epsilon=y+\epsilon^n $ .
那麼，對於任何 $ \epsilon>0 $ 和 $ \forall n $ , $ y^n_\epsilon\succ x $ ， 因此 $ y^n_\epsilon\succsim x $ .
通過連續性 $ \succsim $ ,
$$ \lim_{\epsilon \to 0} {y^n_\epsilon} = y $$
因此， $ y\succsim x $ . $ \blacksquare $
舊版本
我的問題是，連續理性和單調偏好關係背後的有效推理是什麼？ $ x\succsim0 $ . 我在下面放了一個證明，如果你分享你的 2 美分證明的有效性/嚴謹性，我將不勝感激。謝謝！
認為 $ x\in\mathbb{R^+_L}={x\in\mathbb{R^L}:x_l\geq0 $ $ \forall l=1,\dots,L} $ .
索賠：對於每個 $ x\in\mathbb{R^+_L} $ , 單調性意味著 $ x\succsim0 $ .
證明：
(1) 假設 $ x=(0,\dots,0) $ . 然後， $ x\sim0 $ 是可能的。
(2) 假設 $ x\gg y $ . 然後，根據單調偏好的定義， $ x\succ y $ 是可能的。
(3) 假設 $ \exists $ 一些 $ j $ 這樣 $ x_j>0 $ 和 $ 1\leq j\leq L $ .然後，我有以下消除過程：
- $ x\succsim0 $ 是可能的。
- $ x\succsim0 $ 和 $ 0\succsim x $ $ \iff x\sim0 $ 是可能的。
- $ x\succsim0 $ 但不是 $ 0\succsim x $ $ \iff x\succ0 $ 是可能的。
- $ 0\succsim x $ 但不是 $ x\succsim 0 $ $ \iff 0\succ x $ 是不可能的。
在所有三個場景中常見的單一偏好關係是 $ x\succsim0 $ . 因此，對於每個 $ x\in\mathbb{R^+_L} $ , 單調性意味著 $ x\succsim0 $ . 量子點
如果我們將單調性定義為 $ x\geqq y $ 然後 $ x \succeq y $ ，你可以簡化證明（雖然看起來是對的）。
筆記 $ \mathbf{0}\leq x $ 對全部 $ x\in \mathbb{R}_+^l $ . 所以根據單調性的定義（本質上替換 $ y $ 和 $ \mathbf{0} $ 多於）， $ x\succeq \mathbf{0} $ . 我認為不需要連續性（檢查詞典首選項以查看所述結果不需要連續性）。
你說的最後一部分我沒看懂 $ 0≻x $ 是不可能的。我認為有必要在（3）中使用連續性+單調性。
例如，讓我們採取 $ \Bbb R^2 $ 案子。假設我們有兩個元素 $ x_1=(0,1) $ 和 $ x_2=(1,0) $ . 那麼，任何組合都大於 $ 0 $ : $ \alpha*x_1+(1-\alpha)*x_2 >>0 $ 如果 $ \alpha \in (0,1) $ . 重新定義 $ \alpha=1/n $ . 然後，我們建立了一個序列 $ x_n=(1/n)*x_1+(1-1/n)*x_2 $ 這樣 $ x_n >> 0 $ 對於任何 $ n=2,3,… $ . 通過單調性， $ x_n≿0 $ 對全部 $ n=2,… $ . 最後，通過偏好的連續性， $ \lim_{n\to\infty}x_n≿0 $ . 那是， $ x_2≿0 $ （同樣適用於 $ x_1≿0 $ ).
這可以在 $ \Bbb R^n $ 並且對於任何具有 $ x_j=0 $ 對於一些 $ j $ . 因此，將其與您為其他案例所做的證明一起添加（ $ x=0 $ 和 $ x>>0 $ ） 我們有 $ x≿0 $ . (1) 情況由完整性暗示，這暗示了自反性。