方便的 S 形生產函式（即使用 IRS 和 DRS）得出對勞動力的不連續需求
假設一家公司僅使用一種投入生產一種商品（如果我們假設在很短的時間內，也就是勞動力）。那麼我們有如下形式的一般生產函式 $ y=f(L) $ ， 為了 $ L≥0 $ , 是當得到的輸出 $ L $ 僱傭勞動單位。
我們進一步假設一階導數（即公司的邊際產品）總是 $ >0 $ ，但是（假設 f 是兩次可微的）， $ f’’(L)≥0 $ 在 $ [0,c] $ ， 和 $ f’’(L)≤0 $ 在 $ [c,∞) $ . 因此， $ f(L) $ 是先凸後凹，有 $ c $ 作為轉折點。
在這種情況下，與凹面生產技術的標準情況相反（與 $ f’’(L) $ 總是 $ <0 $ )，如果企業遵循利潤最大化的標準規則（即 $ \frac{dF(L)}{dL}=w $ ）。事實上，對於 IR，存在等於邊際回報的實際工資水平，其中勞動力成本超過收入。對於低於臨界就業水平的所有就業水平，產出的價值都低於勞動力成本（比如說 $ Lc $ )，即平均生產率最大化的水平，或者邊際生產率等於平均生產率的水平。由於這個原因，勞動力需求曲線首先下降，然後在某個點下降到零。
什麼是適合代表這種情況的特定功能形式，並允許我推導出具有這些特徵的公司對工作的需求曲線？
我不確定，但在我看來，邏輯功能 $ \frac{e^{x}}{1+e^{x}} $ 可以達到你的目的。
您可能需要在其輸出介於 0 和 1 之間時對其進行縮放，但它確實具有分析導數，然後您可以使用它來求解勞動力需求函式。
我能想到的最簡單的規範之一（並且可以解析地解決一階條件 $ L $ ） 是：
$$ y=\left{ \begin{array}{ccc} L^{\alpha} & & L\leq L_{e} \ L_{e}^{\alpha}+g\left( L-L_{e}\right) & & L>L_{e}% \end{array}% \right. $$ 和 $ g\left( L-L_{e}\right) =(L-L_{e})^\beta $ 和 $ \alpha\geq1 $ 和 $ 0<\beta<1, $ 或與 $ g\left( L-L_{e}\right)=\beta\ln \left( 1+L-L_{e}\right) $ .