凸偏好但凸實用

當效用不是凹函式時偏好可以是凸的（例如 $ U=x_1^2 + x_2^2 $ )?

眾所周知，凸偏好意味著準凹效用函式。由於擬凹性不一定意味著凹性，因此很容易找到表示凸偏好的非凹效用函式的範例。

例如： $ u(x,y)=(x+y)^3 $ . 從它的線性無差異曲線可以看出，這個函式代表的偏好是凸的（儘管不是嚴格如此）。該函式是擬凹函式，如凸上輪廓集所證明的。最後，函式不是凹的，正如指數所背叛的。

Herr K. 給出的例子是完美的。讓我再舉一個不連續效用函式的例子，它是準凹的，但不是凹的。

考慮 $ u:\mathbb{R}^2_+ \rightarrow \mathbb{R} $ 定義如下 $ u(x, y) = \lfloor x\rfloor $ ， 在哪裡 $ \lfloor x \rfloor $ 是小於或等於的最大整數 $ x $ .

$ u $ 是準凹的，因為上層集將是 $ [n,\infty) \times \mathbb{R}+ $ ， 在哪裡 $ n\in \mathbb{Z}+ $ ，這是一個凸集。

它不是凹的，因為它在域中的某些內部點是不連續的 $ u $ .

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/39461