預算集是分段時的凸合理化？
背景：
SARP 可以在一般預算集上定義。
SARP：假設所有人 $ B $ 選擇 $ c(B) $ 只是一個元素。如果 $ x_i,x_{i+1}\in B_i $ ， 和 $ x_i = c(B_i) $ ， 對全部 $ i\in {1,N-1} $ ， 然後 $ x_1=c(B_1)\notin B_N $ .
我了解到，如果預算是這樣的： $ B_i={x\mid p_ix\leq p_ix_i} $ ，那麼，SARP 意味著有限數據被凸偏好合理化。
**動機：**大多數現實生活中的問題都有更複雜的預算。例如，如果代理人在有風險的證券和無風險的現金之間分配她的錢，那麼她的預算將是一個段而不是三角形。
我的問題：讓 $ y^i $ 和 $ z^i $ 是兩點，並且 $ \overline{ y^iz^i} $ 是連接的段 $ y^i $ 和 $ z^i $ .
讓 $ B^i=\overline{ y^iz^i} $ 是段預算集。
讓數據成為 $ (x^i,B^i)^{i\in{1,2,…,n}} $ 在哪裡 $ n $ 是一個自然數。
我們還能對數據進行凸合理化嗎？
也就是說，我們試圖找到一個類似於 SARP 的公理，使得以下兩個條件是等價的：
- 數據滿足公理，
- 數據通過凸偏好合理化。
如果我們也能得到單調性，那就更好了。重點是偏好凸性。
**我的嘗試：**我已經閱讀了論文“非線性預算集上凸合理化的顯示偏好分析”。但是，本文要求預算集 $ B $ 是單調的，段預算集不是單調的。
任何評論，無論長短，都會有所幫助。任何相關的參考資料也會有所幫助。提前致謝。
這個想法是通過考慮無差異曲線上的超平面切線 $ x^t $ 作為“線性預算”。這些線性預算必須包括 $ \overline{y^t, z^t} $ . 然後利用這些線性預算，我們可以利用 Matzkin & Richter (JET, 1991, Testing strict concaverationity) 的結果來獲得嚴格凸的合理化。
非洲風格定理讓 $ D = (\overline{y^t z^t}, x^t)_{t \in T} $ 成為一個數據集。那麼以下是等價的：
- $ D $ 可以通過具有嚴格凸無差異曲線的嚴格單調效用函式來合理化。
- 對全部 $ t \in T $ , 存在一個向量 $ p^t \in \mathbb{R}^n_{++} $ , 和一個數字 $ u^t \in \mathbb{R} $ 這樣 (i) 對所有人 $ t, v, \in T $ ， 如果 $ x^v \ne x^t $ : $$ u^v - u^t < p^t(x^v - x^t), $$ (ii) 為所有人 $ t, v \in T $ 和 $ x^v = x^t $ , $$ u^t = u^v, $$ (iii) 為所有人 $ t \in T $ : $$ p^t x^t \ge p^t y^t \text{ and } p^t x^t \ge z^t. $$
- 對全部 $ t \in T $ , 存在一個向量 $ \tilde p^t \in \mathbb{R}^n_{++} $ 這樣 (i) 對所有人 $ t \in T $ : $$ \tilde p^t x^t \ge \tilde p^t y^t \text{ and } \tilde p^t x^t \ge \tilde p^t z^t $$ (ii)： $$ (\tilde p^t, x^t)_{t \in T} \text{ satisfies SARP}. $$
- $ D $ 可通過嚴格單調和嚴格凹效用函式合理化。
( $ 1 \to 3 $ ) 集合 $ \overline{y^t z^t} $ 是凸的並且上計數集 $ UC(x^t) = {y \in \mathbb{R}^n: u(y) \ge u(x^t)} $ 是嚴格凸的。因此，使用合適的支持超平面定理，我們可以找到向量 $ \tilde p^t $ 相切 $ UC(x^t) $ 在 $ x_t $ 分開 $ UC(x^t) $ 從 $ \overline{y^t z^t} $ 意思就是 $ \tilde p^t x^t \ge \tilde p^t y^t $ 和 $ \tilde p^t x^t \ge \tilde p^t z^t $ . 這表明 (i)。也從嚴格的單調性 $ u $ ，我們必須有 $ \tilde p^t \in \mathbb{R}^n_{++} $ . 接下來為大家 $ w \ne x^t $ 和 $ \tilde p^t w \le \tilde p^t x^t $ ， 我們有 $ u(x^t) > u(w) $ .
現在，定義 $ x^t S x^v $ 如果 $ x^t \ne x^v $ 和 $ \tilde p^t x^t \ge \tilde p^t x^v $ . 然後它遵循 $ x^t S x^v $ 暗示 $ u(x^t) > u(x^v) $ ， 所以 $ S $ 必須是無環的，這表明 $ (\tilde p^t, x^t)_{t \in T} $ 滿足 SARP。
( $ 2 \iff 3 $ ) 遵循 Matzkin & Richter (Testing strict concaverationality, 1991, JET) 中的定理 2，我們定義 $ p^t = \lambda^t \tilde p^t $ .
( $ 3 \to 4 $ ) 從 Matzkin 和 Richter 可以得出，3 意味著存在嚴格單調和嚴格凹的效用函式，使得對於所有 $ w $ 和 $ \tilde p^t w \le \tilde p^t x^t $ ， 我們有 $ u(x^t) \ge u(w) $ . 那麼如果 $ w \in \overline{y^t z^t} $ 我們馬上就有了 $ \tilde p^t w \le \tilde p^t x^t $ （作為 $ w $ 是一個凸組合 $ y^t $ 和 $ z^t $ ） 所以 $ u(x^t) \ge u(w) $ 正如我們想要展示的那樣。
( $ 4 \to 1 $ ) 直截了當。
備註 1：2 中的條件提供了一組可以有效驗證的線性不等式（除了可能需要一些 $ \varepsilon $ -調整）。
備註 2：為了獲得條件 3-(i) 背後的更多直覺，請考慮二維情況， $ y^t, z^t, x^t \in \mathbb{R}^2 $ . 見下圖。有3個案例。這裡的虛線給出了斜率 $ \tilde p^t $
- 如果 $ y^t > z^t $ . 然後，由於嚴格的單調性， $ x^t $ 必須等於 $ y^t $ . （先驗）沒有限制 $ \tilde p^t $ （見左上圖）。類似的推理成立，如果 $ z^t > y^t $ .
- 如果 $ y^t $ 和 $ z^t $ 沒有訂購和 $ x^t = y^t $ 或者 $ x^t = z^t $ . 然後是斜坡 $ \tilde p^t $ 更平坦、更陡峭或等於直線的斜率 $ \overline{y^t z^t} $ . （面板右上角或左下角）。
- 如果 $ y^t $ 和 $ z^t $ 沒有訂購和 $ x^t $ 在。。。之間 $ y^t $ 和 $ z^t $ ， 然後 $ \tilde p^t $ 必須等於直線的斜率 $ \overline{y^t z^t} $ . （面板右下角）。
