正確完整地刻畫瓦爾拉斯需求函式
我想向您提出以下問題和我提出的解決方案。特別是，我不確定如何正確描述瓦爾拉斯的需求。能否請您看一下並發表您的意見和更正？
讓 $ {x}=(x_1,x_2) $ 表示消費向量， $ {p}=(p_1,p_2) $ 表示價格向量，並讓 $ w $ 成為消費者的財富。效用最大化問題是
$$ \begin{equation*} \max_{{x\geq 0}} \ \ (x_1 + 1)^\alpha (x_2+1)^\beta \ \ \ \text{ s.t. } {p \cdot x} \leq w.\end{equation*} $$
和 $ \alpha + \beta = 1 $ 和 $ \alpha, \beta > 0 $ . UMP 的拉格朗日函式為
$$ \begin{equation*} \mathcal{L} ({x}, \lambda, {\mu} ) = (x_1 + 1)^\alpha (x_2+1)^\beta- \lambda ({p \cdot x} -w) + {\mu \cdot x},\end{equation*} $$
在哪裡 $ \lambda $ 和 $ {\mu} = (\mu_1,\mu_2) $ 是拉格朗日乘數。
消費者問題的庫恩-塔克必要條件由以下條件構成：
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} = \alpha(x_1+1)^{\alpha-1} (x_2 +1)^\beta - \lambda p_1 + \mu_1&= 0,\[5pt] \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} = \beta(x_2+1)^{\beta-1} (x_1 +1)^\alpha - \lambda p_2 + \mu_2 &= 0, \end{aligned} \end{equation*} $$ 和 $ \lambda \geq 0 $ 和 $ {\mu} \geq 0 $ ; 初始約束，
$$ \begin{equation} {p \cdot x} \leq w \ \ \ \text{ and } \ \ \ {x } \gg 0,\end{equation} $$
和互補鬆弛條件，
$$ \begin{equation*} \lambda \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = \lambda ({p \cdot x} - w)=0 \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \mu_i \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mu_i} = \mu_i x_i = 0 \ \text{ for } i=1,2. \end{equation*} $$
請注意，在這些條件下 $ \partial u({x})/\partial x_i \leq \lambda p_i $ . 自從 $ \nabla u({x}) \gg 0 $ 和 $ {p} \gg 0 $ ， 這意味著 $ \lambda \geq [\partial u({x})/\partial x_i]/p_i > 0 $ . 換句話說，拉格朗日乘數 $ \lambda $ 是正的並且約束是有約束力的。因此，由 $ \lambda ({p \cdot x} - w)=0 $ , 我們可以得出結論 $ {p \cdot x} = w $ （瓦爾拉斯定律成立）。
內部解決方案屬於 $ {x} \gg 0 $ 這意味著 $ {\mu} = {0} $ . 如上所示，因為 $ u({x}) $ 是一個遞增函式，因為我們假設 $ {p} \gg 0 $ ，瓦爾拉斯定律成立。因此，庫恩-塔克條件限制在方程組
$$ \begin{align} &\alpha(x_1+1)^{\alpha-1} (x_2 +1)^\beta = \lambda p_1, \qquad &(1)\[5pt] &\beta(x_2+1)^{\beta-1} (x_1 +1)^\alpha = \lambda p_2, \qquad &(2)\[5pt] &{x} \gg 0, \qquad &(3)\[5pt] &{p \cdot x} = w. \qquad &(4) \end{align} $$
通過將 (1) 除以 (2)，我們得到了最優的關鍵（相切）條件：在最優時，商品 1 與商品 2 的邊際替代率必須等於兩種商品的價格比
$$ \begin{equation*} \frac{\alpha(x_1+1)^{\alpha-1} (x_2 +1)^\beta}{\beta(x_2+1)^{\beta-1} (x_1 +1)^\alpha}= \frac{p_1}{p_2} \end{equation*} $$
$$ \begin{equation} \frac{\alpha (x_2 +1)}{\beta(x_1+1)}= \frac{p_1}{p_2} .\qquad (5)\end{equation} $$
求解 (5) 為 $ x_2 $ 允許重寫必要（和充分）條件 $ {x}=(x_1,x_2) $ 以對我們的計算有用的方式成為最優值
$$ \begin{equation} x_2= \frac{\beta p_1}{\alpha p_2}(x_1+1) -1. \qquad (6) \end{equation} $$
通過將 (6) 代入 (4) 我們現在能夠解決 $ x_1 ({p}, w) $
$$ \begin{align} &p_1 x_1 +p_2 \bigg(\frac{\beta p_1}{\alpha p_2}(x_1+1) -1\bigg) = w \nonumber \[5pt] &p_1 x_1 = \bigg(w - \frac{\beta }{\alpha}p_1 + p_2 \bigg)\frac{\alpha}{\alpha + \beta} \nonumber \[5pt] &x_1 ({p}, w) = \frac{\alpha (w+p_2)}{p_1} - \beta , \qquad \qquad (7) \end{align} $$
並且通過將 (7) 代入 (6) 我們可以解決 $ x_2 ({p}, w) $ $$ \begin{equation*} x_2 ({p}, w) = \frac{\beta (w+p_1)}{p_2} - \alpha .\end{equation*} $$
對於邊界解決方案，我們需要查看以下情況 $ x_1 = 0 $ 或者 $ x_2 = 0 $ （兩者都為零是無趣的，對於任何局部非飽和函式來說當然不是這種情況）。互補鬆弛條件 $ \mu_i x_i = 0 $ 為了 $ i=1,2 $ 暗示在第一種情況下 $ \mu_1 \geq 0 $ 在第二個 $ \mu_2 \geq 0 $ . 和以前一樣，因為 $ u({x}) $ 是一個遞增函式，因為我們假設 $ {p} \gg 0 $ ，瓦爾拉斯定律成立（在這兩種情況下）。\
$$ -7pt $$ 在第一種情況下， $ x_1 = 0 $ 暗示 $ \mu_1 \geq 0 $ . 因此，庫恩-塔克條件限制在方程組
$$ \begin{align} &\alpha(x_1+1)^{\alpha-1} (x_2 +1)^\beta \leq \lambda p_1, \qquad &(8)\[5pt] &\beta(x_2+1)^{\beta-1} (x_1 +1)^\alpha = \lambda p_2,\qquad &(9)\[5pt] &x_1 = 0, \ \ x_2 > 0, \qquad &(10)\[5pt] &{p \cdot x} = w. \qquad &(11) \end{align} $$
通過將（10）中的等式代入預算約束（11），我們獲得了最優的候選者， $ x_2=w/p_2 $ . 然後，如果我們將 (8) 除以 (9)，並考慮 $ x_1 = 0 $ ，我們得到了的必要（和充分）條件 $ x_2=w/p_2 $ 最優\footnote{注意，對於邊界解，無差異曲線不必與預算線相切。}
$$ \begin{equation*} \frac{\alpha (x_2 +1)}{\beta(x_1+1)} \leq \frac{p_1}{p_2} \end{equation*} $$
$$ \begin{equation} \frac{\alpha (x_2 +1)}{\beta} \leq \frac{p_1}{p_2}. \end{equation} $$
自從 $ \alpha (x_2 +1) / \beta > 0 $ , 存在某個價格向量 $ {p \gg 0} $ 滿足（12）。因此 $ x_2=w/p_2 $ 對於那些價格向量是最優的 $ {p} $ 滿足（12）。
在第二種情況下， $ x_2 = 0 $ 暗示 $ \mu_2 \geq 0 $ . 這次我們省略了大部分代數和解釋，因為它們與上述情況非常相似。跳到結論：根據瓦爾拉斯定律，最佳候選者是 $ x_1=w/p_1 $ 並且它是最優的必要條件是
$$ \begin{equation} \frac{\alpha}{\beta(x_1 +1)} \geq \frac{p_1}{p_2}. \end{equation} $$
自從 $ \alpha / (x_1 +1)\beta > 0 $ , 存在某個價格向量 $ {p \gg 0} $ 滿足（12）。因此 $ x_1=w/p_1 $ 最適合價格向量 $ {p} $ 滿足（13）。
最後，緊記法的瓦爾拉斯需求是
$$ \begin{equation} x({p}, w) = \begin{cases} \bigg(\dfrac{w}{p_1}, 0\bigg) \quad &\text{ if } \ \dfrac{p_1}{p_2} \leq \dfrac{\alpha}{\beta(x_1 +1)} \[5pt] \bigg(\dfrac{\alpha (w+p_2)}{p_1} - \beta, , \dfrac{\beta (w+p_1)}{p_2} - \alpha \bigg) \quad &\text{ if } \ \dfrac{\alpha}{\beta(x_1 +1)} < \dfrac{p_1}{p_2} < \dfrac{\alpha (x_2 +1)}{\beta}\[5pt] \bigg(0,\dfrac{w}{p_2}\bigg) \quad &\text{ if } \ \dfrac{p_1}{p_2} \geq \dfrac{\alpha (x_2 +1)}{\beta} \end{cases} \end{equation} $$
解決 $$ \max_{x \geq 0} \ (x_1+1)^\alpha(x_2 + 1)^\beta $$
$$ s.t. \ \ I \geq p_1x_1 + p_2x_2, $$
我會定義 $ y_1 = x_1+1 $ 和 $ y_2 = x_2 + 1 $ 解決問題
$$ \max_{y \geq 0} \ y_1^\alpha y_2^\beta $$
$$ s.t. \ \ \bar I \geq p_1y_1 + p_2y_2, $$
在哪裡 $ \bar I := I + p_1 + p_2 $ . 為了 $ \alpha + \beta = 1 $ 眾所周知，解決方案是
$$ y_1^* = \frac{\alpha \bar I}{p_1}, $$
給出的定義意味著
$$ x^_1 + 1 = \frac{\alpha(I + p_1 + p_2)}{p_1} \Leftrightarrow \[8pt] x^_1 = \frac{\alpha(I + p_2)}{p_1} - \beta $$
我的猜測是邊界解決方案的條件是
$$ x_1^* \leq 0 \Leftrightarrow \frac{\alpha(I + p_2)}{p_1} - \beta \leq 0 $$
這相當於
$$ I \leq \frac{\beta p_1}{\alpha} - p_2. $$
這有道理嗎？到目前為止，如果 $ p_1 $ 非常高然後消費者想買什麼 $ x_1 $ .