微觀經濟學
需求對應上下半連續；偏好是連續的嗎？
$ \succsim $ 是一個弱命令 $ \mathbb R^L $ .
對於封閉的預算集 $ B\subset\mathbb R^L $ ，定義需求對應：$$ D(B)={x\in B|x\succsim y\forall y\in B} $$.
我們知道 $ D $ 總是非空的，上下半連續的，我們可以得出這樣的結論 $ \succsim $ 是連續的？我們能不能得出這樣的結論 $ D $ 是否可以通過效用函式合理化？
我的方法：對於第一個問題，我想我們可以先證明 $ D $ 可被效用函式合理化 $ u $ . 其次，由於 $ D $ 是連續的， $ u $ 必須是連續的，並且 $ \succsim $ 是連續的。但我懷疑這種方法是否可行，因為第二步似乎行不通。
對於第二部分，如果 $ \succsim $ 是連續的，那麼它由一個連續的效用函式表示。即使 $ \succsim $ 不是連續的，它必須是上半連續的，我們仍然可以找到一個上半連續的效用合理化 $ D $ 由拉德定理。
我們可以考慮一個更簡單的問題：假設需求函式是連續的，偏好關係是否也是連續的？（我認為這是 Mas-Colell 在 1978 年證明的）
我認為你應該通過矛盾假設 D 是連續的，但是 $ \succsim $ 不是，那麼對於一個束來說，更優選的比或更差的集合都不是封閉的。選擇有問題的集合併適當地選擇集合 B 以獲得最大值存在的矛盾（請記住，非封閉集合可能不承認最大值），這將為您提供所需的矛盾。一旦偏好是連續的，仍然需要檢查偏好的完整性以使用經典定理，即如果偏好是完整的、傳遞的和連續的，則存在效用函式表示。