導出同位生產函式的成本函式
我無法理解顯示同位生產函式的成本函式必須以以下形式表達的步驟 $ C(w, q) = a(w)b(q) $ .
由於生產函式是相似的，我知道在相同輸入成本的情況下，最優成本最小化輸入比率對於不同數量的輸出必須完全相同，即
$$ \frac{H^j(w,q)}{H^i(w,q)} = \frac{H^j(w,q’)}{H^i(w,q’)} $$
重新排列我們得出的比率：
$$ \frac{H^i(w,q)}{H^i(w,q’)} = \frac{H^j(w,q)}{H^j(w,q’)} $$
這是有道理的，因為為了保持輸入比率不變，我們需要兩個成本最小化的輸入在從 $ q $ 到 $ q’ $ . 但是，證明隨後指出“要使上述為真**，很明顯該比率必須獨立於 w**，因此，設置 $ q’ = 1 $ "
$$ \frac{H^1(w,q)}{H^1(w,1)}= \frac{H^2(w,q)}{H^2(w,1)} = \cdots =\frac{H^m(w,q)}{H^m(w,1)} = b(q) $$
所以
$$ H^i(w,q) = b(q)H^i(w, 1) $$
在此之後的步驟 $ C(w, q) = a(w)b(q) $ 對我來說很容易理解和直截了當。
但是，我不明白的是，您如何清楚地看到該比率必須與w無關。當然，該比率只是說明對於給定的w，輸入必須以相同的因子/比率增加。但這如何意味著所有w的比率必須完全相同？
編輯：對於那些提出問題的人，這來自弗蘭克考威爾教科書中的一個練習題：微觀經濟學：原理與分析。
比率與w無關的事實來自同位函式的性質之一。根據定義，同質函式是同質函式的單調變換。因此，對於任何同位函式，一個已知的結果是 $ Φ(z_1) = Φ(z_2) $ 暗示 $ Φ(tz_1) = Φ(tz_2) $ 對於任何輸入組合 $ z_1 $ 和 $ z_2 $ . 因此，對於沿相同等量線的任何兩個輸入組合/比率（即 $ Φ(z_1) = Φ(z_2) $ )，因此任何價格比率（因為對於同位函式價格比率 = MRTS 僅由輸入比率決定）乘以完全相同的因子 $ t $ 讓你從等量線那裡 $ Φ(z_1) = Φ(z_2) $ 到 $ Φ(tz_1) = Φ(tz_2) $ .
結果，上面的比率與價格w無關（即你在等量線上的哪個點），因為無論它在哪裡，你總是必須乘以相同的 t 才能從 q 到 q’，在我的案例是比率
$$ t = \frac{H^i(w,q)}{H^i(w,q’)} = \frac{H^j(w,q)}{H^j(w,q’)} $$
你的證明一定有錯誤。你的證明從哪裡來？“為使上述內容成立，很明顯該比率必須獨立於 $ w $ ” 不能為真。您的比率必須獨立於 $ q $ 但不是 $ w $ . 以 Cobb-Douglas 案例（對應於類比生產函式）為例。有關結果的證明，請參見 Diewert 或 Chambers：
Chambers, Robert G., 1988, Applied Production Analysis, Cambridge University Press。
Diewert, E.，1982 年，“微觀經濟理論的對偶方法”，《數理經濟學手冊》第 2 卷。
在 Cobb Douglas 案例中，生產函式$$ q=x_1^\alpha x_2^\beta $$產生一階條件$$ \frac{w_1}{\lambda}=\alpha\frac{q}{x_1} $$ $$ \frac{w_2}{\lambda}=\beta\frac{q}{x_2}, $$以便滿足最佳輸入需求（在您的符號中）$$ \frac{x_1}{x_2}=\frac{\alpha}{\beta}\frac{w_2}{w_1} \equiv \frac{c_1(w)}{c_2(w)}, $$獨立於 $ q $ 並暗示（展示）$$ x_1=H^1(w,q)=c_1(w)b(q), $$ $$ x_2=H^2(w,q)=c_2(w)b(q). $$由此可見，代價函式$$ c(w,q)=w_1H^1(w,q)+w_2H^2(w,q)=a(w)b(q), $$和 $ a(w)=… $ . 類似的推導適用於更一般的類比情況，因為根據類比的定義，生產技術可以寫成$$ y=f(x)=g(h(x)) $$其中 h 是一階齊次的…