推導無差異曲線

我一直在努力解決這個問題，但我似乎無法理解如何解決這些問題。任何幫助（或提示）將不勝感激。

Goodheart 教授的同事 Kremepu 博士進行了 3 次期中考試。他降了最低，並給每個學生其他兩門考試的平均分。Polly Sigh 正在學習他的課程，她的第一次考試得了 60 分。讓 $ x_2 $ 成為她第二次考試的分數 $ x_3 $ 成為她第三次考試的分數。如果我們在第二次和第三次考試中繪製她的無差異曲線 $ x_2 $ 由橫軸和 $ x_3 $ 用縱軸表示，然後她的無差異曲線通過點 ( $ x_2; x_3 $ ) = (50; 70) 是：

1. L 形帶扭結的地方 $ x_2 = x_3 $ .
2. 三個線段，一個垂直的，一個水平的，一個從 (70; 60) 到 (60; 70) 的線段。
3. 一條從 (0; 120) 到 (120; 0) 的直線。
4. 三個線段，一個垂直，一個水平，一個從 (70; 50) 到 (50; 70)。
5. 一條 V 形曲線，其點位於 (50; 70)。

這裡的效用函式是波莉得到的平均分數，即

$ U(x_2,x_3)=\frac{max{x_2,x_3,60}+max^2{x_2,x_3,60}}{2}\ $

在哪裡： $ max^2{.} $ 代表第二高的數字。現在這個效用函式可以重寫為：

$ U(x_2,x_3)= \begin{cases}\frac{x_2+x_3}{2}, & \text{ if } x_2,x_3\geq 60,\ \frac{60+x_3}{2}, & \text{ if } x_2<60, x_3>x_2,\ \frac{60+x_2}{2}, & \text{ if } x_3<60,x_3<x_2,\ \frac{60+k}{2}, & \text{ if } k<60,x_3=x_2=k.\ \end{cases} $

繪製其水平曲線，即效用水平的 IC $ c $ 將是從點開始的水平線 $ (0,2c-60) $ 到 $ (60,2c-60) $ , 從點開始的垂直線 $ (2c-60,0) $ 到 $ (60,2c-60) $ 和一條線 $ (60,2c-60) $ 到 $ (2c-60,60) $ .

因此，如果 $ (x_2,x_3)=(50,70) $ 選項 2 滿足 IC 的描述。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/5195