確定子博弈完美納什均衡
問題
三間房子共用一個海灘的專屬通道，但由於垃圾衝上岸，它很髒。海灘清理運動費用 $ 100 $ , 但有一個值 $ 200 $ 到每個家庭。一家清理公司提議承擔這項工作，並建議按順序作出貢獻。首先，家庭 1 將貢獻一些金額，即 $ x_1 $ . 然後觀察後 $ x_1 $ , 家庭 2 將貢獻一些金額，即 $ x_2 $ . 最後，經過觀察 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ , 家庭 3 將貢獻一些金額，即 $ x_3 $ . 如果 $ x_1 + x_2 + x_3 \geq 100 $ ，然後公司將繼續清理並保留任何收益。如果 $ x_1 + x_2 + x_3 \leq 100 $ ，則公司保留所有捐款，清理工作未完成。
找到子博弈完美納什均衡。
我的答案
考慮家庭 1。請注意，清潔海灘始終符合家庭 1 的最佳利益，因為 $ 200 > 100 $ ，所以他應該提供 $ 100 $ . 現在，家庭 2 看到了這一點，並且知道已經為清理工作做出了足夠的貢獻，因為 $ 100 \geq 100 $ ，所以他會提供 $ 0 $ . 可以對家庭 3 進行類似的論證。因此，均衡結果是 $ {x_1 = 100, x_2 = 0, x_3 = 0} $ .
筆記
我知道這個問題要求子博弈完美納什均衡，但我的教授特別指出，就我們正在學習的模組而言，能夠得出均衡結果就足夠了（即我們不知道如何求解實際的子博弈完美納什均衡）。
我有兩個問題。
- 我的均衡結果正確嗎？
- 我可以知道我的推理是否足夠/完整/合乎邏輯以得出我已經達到的結果？
我們剛剛討論了博弈論，所以我仍在努力習慣回答這些問題。對我的回答的任何幫助/想法將不勝感激:)
只是為了確認起見，請注意問題中描述的遊戲是著名的最後通牒遊戲的變體。了解這一點可以幫助您獲得大量有關此類游戲的文獻。
進一步注意，您的教授提出了一個非常重要的觀點，即提出答案就足夠了，沒有必要*解決。*我的回答也僅限於表明給定的行動概況是平衡的（無論是 NE 還是 SPNE）。解決遊戲（例如這些）完全是不同的球遊戲（我沒有專業知識）。
對於納什均衡：
要檢查給定的動作配置文件是否是 NE，只要證明每個玩家的響應是給定其他玩家動作的最佳響應 (BR) 就足夠了。現在考慮一組動作配置文件：
$$ X := {(x_1,x_2,x_3) ,,|,, x_1 + x_2+x_3 = 100} $$
對於任何 $ x \in X $ ，我們可以看到每個玩家的收益是 $ 200 $ 考慮到其他玩家的行為，沒有玩家可以通過改變他們的行為來做得更好。因此，所有行動 $ X $ 是 NE（請注意，由於這個遊戲是連續的而不是同時的，我們不考慮混合策略配置文件）。
問題在於，直覺上，這對我們來說似乎不合理，因為對於玩家 1，提供的任何東西都超過 $ 0 $ 似乎並不聰明。
這就是 NE 的細化，Subgame Perfect Nash Equilibrium的用武之地：
在 SPNE 中，對於博弈的每個子博弈，均衡也應該是一個 NE。這帶來了一些限制，因此是一個較小的集合。在上面的遊戲中，由於玩家 3 的最佳反應是玩 $ 100-x_1-x_2 $ （例如，如果玩家 3 堅持她會玩 $ 0 $ 如果別人不付錢 $ 33.33 $ 每個，這確實是一個不可信的威脅，因為她那樣玩是不合理的），玩家 2 和玩家 1 的最佳反應變成， $ 0 $ 對於每個。
因此，唯一的子博弈完美 NE 是 $ (0,0,100) $