在向下傾斜的需求曲線中邊際效用作用遞減
人們通常表示需求曲線向下傾斜的原因之一是邊際效用遞減，即每增加一個單位帶來的效用越來越少。但是，隨著需求量的變化，它如何影響價格下跌或上漲？我不明白為什麼它會導致需求曲線下降。
事實證明，“邊際效用遞減”的概念與需求曲線是向上傾斜還是向下傾斜無關。例如，考慮效用函式 $$ u = x^2 y^2 $$ 定義在一對商品上 $ x $ 和 $ y $ . 正如所寫，效用函式是凸的，因此意味著“增加邊際效用”。但是，使用標準方法，可以檢查這是否產生了需求曲線 $$ x^* = \frac{m}{2 p_x}; y^* = \frac{m}{2 p_y} $$ 在哪裡 $ m $ 是消費者的收入， $ p_x $ 是好東西的代價 $ x $ ， 和 $ p_y $ 是好東西的代價 $ y $ . 顯然，兩條需求曲線都是向下傾斜的；所以向下傾斜的需求不需要減少邊際效用。
更普遍的一點是最大化效用函式 $ u $ 相當於最大化 $ f(u) $ ， 在哪裡 $ f $ 是嚴格遞增的函式。通過選擇 $ f $ 適當地，我們通常可以獲得轉換後的效用函式 $ f(u) $ 邊際效用遞減；但我們也可以獲得轉換後的效用函式 $ f(u) $ 顯示出增加的邊際效用！所以效用函式是否邊際效用遞減的問題與計算消費者的需求無關。
**更新：**如果您確實想了解需求是向下傾斜還是向上傾斜，關鍵的見解來自斯盧茨基方程。非正式地，這表示改變價格對需求的影響可以分解為兩件事：
- 替代效應
- 收入效應
替代效應總是負的，表明更高的價格應該導致更低的需求。同時，收入效應可以是積極的也可以是消極的，這取決於更高的收入會導致更高或更低的需求。因此，當且僅當 1) 收入效應為正 2) 收入效應大於替代效應（絕對規模）時，需求向上傾斜。
人們通常表示需求曲線向下傾斜的原因之一是邊際效用遞減，即每增加一個單位帶來的效用越來越少。但是，隨著需求量的變化，它如何影響價格下跌或上漲？我不明白為什麼它會導致需求曲線下降。
首先，正如您在問題本身中指出的那樣，這是標準教科書經常給出向下傾斜需求的原因之一**。**這既不是導致需求曲線總是向下傾斜的唯一原因，也不是充分原因。
索賠背後的邏輯是什麼？
邊際效用決定了人們對事物的價值。例如，一個飢餓的人可能會將第一塊披薩的價格定為 30美元（考慮到他們吃披薩的邊際效用）。第二個切片的價值可能僅為 20美元，因為第二個切片的邊際效用會更低。第三個切片的邊際效用甚至更低，因此人們可能只將其估值為 5 $。
如果商品的價值隨著您消費的增加而下降，這將是導致需求曲線向下傾斜的因素。因此，需求通常會向下傾斜，因為由於邊際效用下降，人們只會在價格下降時才願意消費更大的數量（儘管實際上還有一些其他影響，例如收入效應，有時可能會像吉芬商品一樣使需求向上傾斜，儘管如此邊際效用本身使需求向下傾斜）。
以上條件是否充分？
這本身是不夠的，這實際上已被Samuelson (1947)證明。然而，這是由於存在其他決定需求是否向下傾斜的因素，例如收入效應主導替代效應的情況等。因此，儘管邊際效用下降，但需求甚至會向上傾斜。
然而，這並沒有使本科教科書聲稱邊際效用遞減是導致效用向下傾斜的因素之一無效。即使不是一般的充分條件，也有像Giffen貨這樣的外例。
例如，考慮以下效用案例：
$$ U = x^\alpha + y^\beta $$
如果 $ \alpha > 1; \beta >1 $ 我們有增加的邊際效用，以防萬一 $ \alpha <1; \beta <1 $ 我們的邊際效用遞減。受預算約束 $ px + qy =m $ .
考慮邊際效用增加的情況：
$$ U = x^2 + y^2 $$
這裡的最佳需求將由以下公式給出：
$$ x^* = 0 \text{ if } p> q ; x^* = \frac{m}{p} \text{ if } p< q $$和
$$ y^* = 0 \text{ if } p<q ; y^* = \frac{m}{q} \text{ if } p> q $$
在這種情況下，我們得到的需求並不總是價格下降（參見下面對商品 x 的需求模擬 $ m=100 $ 和 $ q=1 $ ):
現在，如果我們切換到邊際效用遞減的效用函式：
$$ U = x^{0.5} + y^{0.5} $$
要求將由：
$$ x^* = \frac{qm}{p^2 +pq}; y^* = \frac{pm}{q^2 +pq} $$
如果我們繪製這個函式，你會看到我們會得到很好的需求函式，它隨處減少（參見下面對商品 x 的需求模擬 $ m=100 $ 和 $ q=1 $ ):
上面只是一個例子，這不是任何效用函式都適用的結果，但它適用於大量各種效用函式。
因此，當教科書說供給曲線下降的原因之一是邊際效用下降時，他們的意思是，對於廣泛的效用函式，邊際效用下降保證了良好的單調下降需求。然而，正如薩繆爾森所證明的那樣，邊際效用下降本身是不夠的，因此教科書通常會提到它作為原因之一。
