不連續函式在在U具有連續偏好的可以寫成不連續和單調函式和連續函式的組合

**猜想：**每一個不連續的效用函式 $ U $ 表示連續偏好可以寫成 $ U = f \circ g $ 對於一些連續的 $ g $ 和不連續的嚴格單調 $ f $ .

目的是證明或反駁這個猜想。

我們知道連續效用意味著連續的偏好，通過嚴格的單調執行它會給我們相同的偏好，但效用函式不連續。猜想就是由此而來的。

我認為這個問題是要求代表 $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ . 如果我們只需要 $ f $ 被定義在一個子集上 $ \mathbb{R} $ ，阿米特的回答解決了這個問題。

這是域是連接的（並且是第二個可數的）情況的證明：在這些假設下，存在一個連續的效用表示 $ V:X\to\mathbb{R} $ . 由於連續函式將連通集映射到連通集，因此圖像 $ V(X) $ 是一個可能無界的區間。我做的特殊情況是 $ V(X)=[a,b) $ 對於一些實數 $ a $ 和 $ b $ ，其他情況可以類似的方法處理。現在定義滿射連續函式 $ g:X\to [a,\infty) $ 經過$$ g(x)=\frac{V(x)-a}{b-V(x)}. $$ 注意 $ g $ 表示偏好排序。讓 $ r^*=U(x) $ 對於任何（因此所有） $ x\in g^{-1}(a). $

現在定義 $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ 所以對於 $ r\geq a $ 我們有 $ f(r)=U(x) $ 對於任何（因此所有） $ x\in g^{-1}(r) $ 並且對於 $ r<a $ 我們有 $ f(r)=r^*-|r-a| $ . 很容易驗證 $ f $ 嚴格增加並且 $ U=f\circ g $ .

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/51019