這裡的一般均衡是否需要帕累托最優？
有兩個消費者 $ A $ 和 $ B $ , 和兩個生產者 $ X $ 和 $ Y $ . 消費者擁有勞動力（L）和資本（K） $ L_A,K_A $ ， 和 $ L_B,K_B $ 分別。兩個消費者的偏好具有效用函式 $ U_A=X_A^4Y_A $ 和 $ U_B=X_BY_B $ . 兩家生產商的技術由下式給出 $ X=\sqrt{K_XL_X}/2 $ 和 $ Y=2\sqrt{K_YL_Y} $ . 設定工資率 $ w=1 $ ，競爭性一般均衡相對價格是多少？
這是受家庭作業問題啟發的，但我想了解如何解決這類一般問題。這需要帕累托最優嗎？微積分如何在這個問題中發揮作用？任何幫助都會很棒！謝謝。
競爭均衡是價格向量 $ (p_x, p_y, w =1, r) $ 這樣它就可以解決以下方程組：
- 需求 $ X $ = 供應 $ X $
- 需求 $ Y $ = 供應 $ Y $
- 需求 $ L $ = 供應 $ L $
- 需求 $ K $ = 供應 $ K $
這些需求和供給要麼是外生給定的，要麼是通過以標準方式解決消費者的效用最大化問題和企業的利潤最大化問題而導出的。
方法 1：解決發布的問題的一種方法是找到這些需求和供應，並求解得到的方程組。
方法2：另一種方法是使用第一福利定理。第一福利定理說，如果效用增加，那麼競爭均衡是帕累託有效的。在已發布的問題中，兩個消費者都具有遞增的效用函式。因此，我們可以用它來確定有競爭力的均衡價格。均衡價格和分配滿足以下條件：
- 生產效率：MRTS $ ^X_{L,K} $ = MRTS $ ^Y_{L,K} $ = $ \frac{w}{r} $ . 使用它來推導生產可能性邊界 (PPF)。
- 消費效率：MRS $ ^A_{X,Y} $ = 夫人 $ ^B_{X,Y} $ = 捷運 $ _{X,Y} $ = $ \frac{p_X}{p_Y} $ .
解決方案（使用方法 2）：給定有問題的數據，我們看到兩個生產函式都表現出恆定的規模收益，PPF 的形式為 $ 4x + y = $ 持續的。因此，價格比 $ \frac{p_x}{p_y} $ 無論初始禀賦如何，平衡中的值為 4。只要兩個輸入都是如此 $ L $ 和 $ K $ 以正數量提供。一旦指定了有關禀賦的細節，就可以完全確定均衡。尋找 $ \frac{w}{r} $ 我們需要知道經濟中勞動力和資本的總禀賦，並找出絕對價格 $ X $ 和 $ Y $ 給定 $ w = 1 $ 我們需要關於勞動力和資本的總禀賦中有多少屬於每個消費者的數據。
競爭性一般均衡
您繪製的模型是標準的一般均衡模型，因此任何競爭均衡都是帕累託有效的。
另一個答案是關於消費者/公司是原子的。我不明白這個。一般均衡理論的標准假設是消費者和企業是價格接受者。
另一個答案也談到了部分均衡，因為工資無法調整。再說一次，我不明白這一點。給定一個競爭均衡價格向量和分配，將所有價格乘以一個常數會產生另一個具有相同分配的均衡。換句話說，競爭均衡只確定相對價格。不失一般性的標準簡化就是將一種商品的價格標準化為統一。在這裡，標準化適用於勞動力價格，工資。
如何找到競爭均衡？恐怕除了推導出消費者的瓦爾拉斯需求和企業的供給，找到出清所有市場，即兩種消費品市場和生產投入市場的價格外，別無他法。