規模報酬是否總是導致規模經濟？
我可以區分規模收益和規模經濟，但我仍然不知道規模收益是否總是會導致規模經濟？請問你能幫幫我嗎？
很好的問題（我假設您的預期問題是“規模報酬遞增是否總是會導致規模經濟”）：
這兩個概念是相關的，但規模回報 (RS) 比規模經濟 (ES) 限制性更大。
RS的概念嵌入在生產函式中。如果 $ Q=F(K,L) $ 那麼規模報酬遞增簡單意味著：
$$ F(\alpha K, \alpha L) > \alpha F(K,L) $$
例如，在 Cobb-Douglas 生產函式中： $ Q=AK^aL^b $ , 我們有 $ a+b>1 \implies \text{increasing }RS $
ES 的概念要廣泛得多，並且超越了生產函式。它只是說平均成本（AC）隨著 $ Q $ :
$$ \frac{dAC}{dQ}<0 $$
注意使用 $ d/dQ $ 代替 $ \partial/\partial Q $ . 這就是一切改變的地方。在偏導數中，我們對以下數學關係感興趣：在其他條件不變的情況下，數量的變化是否會改變成本。
為了說明關係和差異，請考慮推導 $ C=f(Q) $ 使用 Cobb-Douglas 生產函式：
給定工資率 $ w $ 和資本成本 $ r $ : $$ \begin{align} C=wL+rK \end{align} $$
首先通過成本函式求解輸出最大化約束：
$$ \begin{align} \max_{L,K} ;{AK^aL^b} ;; s.t ;; wL+rK=\bar{C} \end{align} $$
解決 langrangian 會給我們：
$$ \begin{align} K=\frac{bw}{ar}L \tag{2} \end{align} $$
替代 $ (2) $ 在生產功能給我們：
$$ \begin{align} Q=A\bigg(\frac{bw}{ar} \bigg)^bL^{a+b} \tag{3} \end{align} $$
重新安排 $ (3) $ 並得到 $ L $ 按照 $ Q $ 然後將其替換回 $ (2) $ 給我們：
$$ \begin{align} L=\bigg(\frac{ar}{bw}\bigg)^{b/(a+b)} \bigg(\frac{Q}{A}\bigg)^{1/(a+b)} \tag{4} \end{align} $$
$$ \begin{align} K=\bigg(\frac{bw}{ar}\bigg)^{a/(a+b)} \bigg(\frac{Q}{A}\bigg)^{1/(a+b)} \tag{5} \end{align} $$
替代 $ (4), (5) $ 在 $ (1) $ :
$$ \begin{align} C=\eta \cdot w^{\frac{a}{a+b}} \cdot r^{\frac{b}{a+b}} \cdot Q^{\frac{1}{a+b}} \end{align} $$
在哪裡 $ \eta $ 是一個常數 $ a $ 和 $ b $ .
對於平均成本： $$ \begin{align} \frac{C}{Q}=\eta \cdot w^{\frac{a}{a+b}} \cdot r^{\frac{b}{a+b}} \cdot Q^{\frac{1-(a+b)}{a+b}} \tag{6} \end{align} $$
現在你看看是否存在規模報酬遞增，即， $ a+b>1 $ ,
$$ \frac{\partial AC}{\partial Q}<0 $$
所以你看，如果 $ w,r $ 那麼當然可以視為常數
$$ \frac{\partial AC}{\partial Q} = \frac{dAC}{d Q} <0 $$
另一方面，這很少是真的。在一般均衡模型中， $ w $ 和 $ r $ 也是變數。例如，假設勞動力和資本市場是完全競爭的：
$ w=MP_L\equiv \frac{\partial Q}{\partial L} = a\frac{Q}{L} $ 同樣， $ r=MP_K\equiv \frac{\partial Q}{\partial K} = b\frac{Q}{K} $
將這些替換為 $ (1) $ （或等效地在 $ (6) $ )，我們得到：
$$ \frac{C}{Q}=(a+b) $$
如此有趣的是，儘管規模回報不斷增加，但平均成本是不變的。
因此，增加 RS 最多可以確保：
$$ \frac{\partial AC}{\partial Q}<0 $$
但是 ES 需要的是：
$$ \frac{dAC}{dQ} = \frac{\partial AC}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial Q}+\frac{\partial AC}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial Q}+\frac{\partial AC}{\partial Q}<0 $$
所以完全有可能 $ \frac{\partial AC}{\partial Q}<0 $ 但 $ \frac{d AC}{d Q}>0 $